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 Definizione di polinomio

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avidodinformazioni



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MessaggioOggetto: Definizione di polinomio   Gio Dic 24, 2015 3:06 pm

La faccio semplice:

a/2 + b/2 è un polinomio (perchè è somma di monomi).

(a+b)/2 è un'espressione assolutamente equivalente tuttavia a cavillare non è solo somma di monomi ma somma di monomi a sua volta DIVISA per un numero (monomio di grado 0).

Si usa dire che anche la seconda forma è un polinomio perchè equivalente alla prima o si usa dire che non lo è perchè contiene una divisione ?
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ushikawa



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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Gio Dic 24, 2015 3:10 pm

https://it.wikipedia.org/wiki/Polinomio

In matematica un polinomio è un'espressione con costanti e variabili combinate usando soltanto addizione, sottrazione e moltiplicazione. In altre parole, un polinomio tipico, cioè ridotto in forma normale, è la somma algebrica di alcuni monomi non simili tra loro, vale a dire con parti letterali diverse.

Insomma il tuo dubbio deriva solo dalla forma.
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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Gio Dic 24, 2015 3:18 pm

Lo so, da (sedicente)buon ingegnere so quale sia la sostanza dei polinomi, il problema è che ho fatto finta di essere un professore di matematica ed ora devo insegnare anche la forma (che non conosco a sufficienza).

Formalmente è o non è un polinomio ? Io direi di no, ma vorrei la conferma di un matematico vero.
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Paolo Santaniello



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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Gio Dic 24, 2015 3:28 pm

Si, è un polinomio.
Semmai potresti, a scopo didattico, osservare che si trova sotto forma di frazione algebrica.
Anche espressioni razionali che non sono polinomi possono trovarsi sotto forma di frazione algebrica...  quelle che non sono polinomi contengono delle potenze letterali non riducibili al denominatore, che se andassimo a tradurle in forma estesa ci riporterebbero a monomi di grado negativo... che quindi non costituiscono un polinomio.

In parole povere, la divisione (o frazione) fra due polinomi generalmente non è un polinomio... ma quando il primo è divisibile per il secondo lo è. Ciò accade sempre quando il secondo è di grado zero.
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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Gio Dic 24, 2015 3:31 pm

Quindi niente cavillo, vince la sostanza; grazie.
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Garamond



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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Gio Dic 24, 2015 4:20 pm

avidodinformazioni ha scritto:
Lo so, da (sedicente)buon ingegnere so quale sia la sostanza dei polinomi, il problema è che ho fatto finta di essere un professore di matematica ed ora devo insegnare anche la forma (che non conosco a sufficienza).

Formalmente è o non è un polinomio ? Io direi di no, ma vorrei la conferma di un matematico vero.

Da matematico, un polinomio a coefficienti in un anello A è una funzione dai numeri naturali ad A quasi ovunque nulla.
Un polinomio può essere rappresentato in tanti modi diversi, ma finché ci si intende sul significato della scrittura, sempre di un polinomio si tratta.
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comp_xt



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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Gio Dic 24, 2015 5:19 pm

Formalmente un polinomio p(x) di grado n in una indeterminata x a coefficienti in un anello A è una qualunque espressione della forma:

p(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2+...+a_n x^n

con a_i appartenente A, a_n diverso 0 (dove con 0 indico l'elemento neutro dell'addizione nell'anello A)

L'insieme dei polinomi in una indeterminata a coefficienti in A si indica con A[X].

Questa espressione va intesa in senso puramente formale e NON come la rappresentazione di una funzione che associa ad ogni x appartenente all'anello A il risultato dell'operazione che si ottiene effettuando i calcoli indicati nell'espressione del polinomio.
Per meglio dire, un polinomio si può anche interpretare come una funzione ma questa è appunto solo una possibile interpretazione e non la sua definizione (se noti nella definizione non si dice che cosa è x - pertanto sarebbero possibili anche altre interpretazioni - ad esempio x potrebbe essere vista come una matrice quadrata avente entrate in A e quei calcoli avrebbero ancora senso).

Quello che è importante, al di là delle possibili interpretazioni di quell'espressione, è la struttura algebrica di A[X], che scaturisce dalla definizione delle operazioni di somma e prodotto fra polinomi.
Sempre al fine di studiare la struttura algebrica, occorre precisare che particolarmente interessante è il caso in cui A non sia solo un anello ma sia un campo (molti risultati notevoli sull'algebra dei polinomi valgono infatti in questo caso).

Una volta definiti la somma e il prodotto di polinomi, si vede facilmente che A[X] è dotato di una struttura di anello.

Un polinomio in due indeterminate può quindi essere definito come l'insieme A[X][Y] (ossia come l'insieme dei polinomi nella indeterminata Y con coefficienti nell'anello A[X]).
Iterando questo ragionamento puoi facilmente giungere alla definizione di polinomio in n indeterminate.

Ovviamente, lo avrai ben capito, quella che ho fatto è solo un discorso sulla definizione formale di polinomio che viene normalmente adottata in corso universitario di algebra astratta - non sono talmente folle di  consigliarne l'adozione in una prima liceo.
Tuttavia, con le dovute precisazioni la puoi utilizzare.

Un polinomio in una variabile continua sempre a essere un espressione del tipo:

p(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2+...+a_n x^n

tuttavia gli a_i saranno numeri (interi, razionali, reali, complessi a seconda dei casi) e x lo puoi interpretare come un numero (intero, razionale, reale, complesso a seconda dei casi).
Ribadisco però una cosa: x è un numero e non l'oggetto a cui il numero si riferisce. In caso contrario si rischia di cadere nelle situazioni paradossali che il prof. Giorgio Israel aveva ben descritto in uno dei suoi bestiari: http://gisrael.blogspot.it/2011/05/bestiario-matematico-n-13.html
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Garamond



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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Gio Dic 24, 2015 6:15 pm

comp_xt ha scritto:
Formalmente un polinomio p(x) di grado n in una indeterminata x a coefficienti in un anello A è una qualunque espressione della forma:

p(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2+...+a_n x^n

con a_i appartenente A, a_n diverso 0 (dove con 0 indico l'elemento neutro dell'addizione nell'anello A)

Volevi dire informalmente, suppongo.
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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Gio Dic 24, 2015 6:48 pm

Anelli, Campi; pensate che a lezione io dico che il polinomio è un cestino della frutta, se contiene 3 mele è 5 pere per tagliar corto si scrive 3m + 5p e se un altro cestino contenente 2m + 6b (banane) il risultato è un cestone contenente 5m + 5 p + 6b perchè le mele si sommano con le mele e con nient'altro.

Pure così i 4 fioccano; con Anelli e Campi dovrei mettergli -5 !
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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Gio Dic 24, 2015 7:51 pm

Eheheh :-D
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comp_xt



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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 2:30 am

Garamond ha scritto:
comp_xt ha scritto:
Formalmente un polinomio p(x) di grado n in una indeterminata x a coefficienti in un anello A è una qualunque espressione della forma:

p(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2+...+a_n x^n

con a_i appartenente A, a_n diverso 0 (dove con 0 indico l'elemento neutro dell'addizione nell'anello A)

Volevi dire informalmente, suppongo.

No, formalmente, nel senso che tale espressione va intesa come un insieme di simboli, un' espressione formale appunto.
È fra l'altro la definizione utilizzata da due testi universitari di algebra assai noti e diffusi quali l'Herstein (pag. 165 della versione italiana) e l'Artin (pag. 416 della versione italiana). Quest'ultimo testo denota proprio un'espressione di tal tipo col termine di polinomio formale per distinguerla da una funzione polinomiale.

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comp_xt



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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 3:00 am

avidodinformazioni ha scritto:
Anelli, Campi; pensate che a lezione io dico che il polinomio è un cestino della frutta, se contiene 3 mele è 5 pere per tagliar corto si scrive 3m + 5p e se un altro cestino contenente 2m + 6b (banane) il risultato è un cestone contenente 5m + 5 p + 6b perchè le mele si sommano con le mele e con nient'altro.

Pure così i 4 fioccano; con Anelli e Campi dovrei mettergli -5 !


Non sono talmente folle da proporre di introdurre le strutture algebriche astratte in una prima superiore, fra l'altro come preliminare all'algebra elementare.
La definizione serve a te per capire come adattare la presentazione dell'argomento ad una classe prima e ai tuoi particolari studenti (che solo tu conosci).

In particolare, se utilizzi una definizione come quella che ti ho presentato io (e che puoi semplificare e adattare facilmente evitando di parlare di anelli e campi ma solo di insiemi numerici) puoi rispondere al tuo dubbio:
la scrittura (a+b)/2 ha senso infatti solo dopo aver definito le operazioni di
somma e moltiplicazione di due polinomi, essa infatti indica la moltiplicazione di due polinomi: (a+b) e 1/2. Eseguendo la moltiplicazione dei due polinomi trovi 1/2 a + 1/2 b.


Seguendo l'impostazione che ho presentato si definiscono direttamente i polinomi e i monomi restano definiti come particolari polinomi.
Una strada alternativa a questa è quella di definire prima i monomi (con relative operazioni) e poi, a partire da essi, i polinomi e forse quest'ultima è didatticamente più efficace in quanto più intuitiva.

Sull'esempio delle mele e delle banane, fai molta attenzione perché dire che le mele si sommano fra loro è una stupidaggine a meno che tu non definisca un'operazione di somma all'interno dell'insieme delle mele.
In realtà tu non stai sommano mele ma stai sommando il loro numero e questo lo puoi fare perché negli insiemi numerici le operazioni di somma e prodotto sono definite.
Nel tuo esempio 3 m + 5 p significa moltiplicare per tre il NUMERO delle mele, moltiplicare per 5 il NUMERO delle pere e sommare infine fra loro i due risultati. Tutte operazioni fra numeri ben definite.
Che senso ha parlare di somme fra mele e pere e dire poi che mele con pere non si possono sommare e però lasciare il simbolo + fra i due risultati che indicherebbe però una somma fra le due entità? Se l'addizione fra le due entità non ha senso, non avrebbe senso nemmeno indicarla quando scrivi 3m+3p. Il senso invece ce l'ha proprio perché non stai sommando frutti ma bensì il loro numero. Ti consiglio di leggere a tale proposito, l'interessante articolo di Israel che ti ho linkato prima.


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Garamond



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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 9:38 am

comp_xt ha scritto:
No, formalmente, nel senso che tale espressione va intesa come un insieme di  simboli, un' espressione formale appunto.
È fra l'altro la definizione utilizzata da due testi universitari di algebra assai noti e diffusi quali l'Herstein (pag. 165 della versione italiana) e l'Artin (pag. 416 della versione italiana). Quest'ultimo testo denota proprio un'espressione di tal tipo col termine di polinomio formale per distinguerla da una funzione polinomiale.

E qual è la definizione formale di espressione formale?
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comp_xt



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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 10:17 am

Garamond ha scritto:
comp_xt ha scritto:
No, formalmente, nel senso che tale espressione va intesa come un insieme di  simboli, un' espressione formale appunto.
È fra l'altro la definizione utilizzata da due testi universitari di algebra assai noti e diffusi quali l'Herstein (pag. 165 della versione italiana) e l'Artin (pag. 416 della versione italiana). Quest'ultimo testo denota proprio un'espressione di tal tipo col termine di polinomio formale per distinguerla da una funzione polinomiale.

E qual è la definizione formale di espressione formale?

Quella che ha in lingua italiana.
Se definisci il significato di un simbolo, premetti forse la definizione del sostantivo "simbolo"?

Io ho semplicemente definito come "polinomio in una indeterminata x" un oggetto costituito da un determinato insieme di simboli. Ho poi aggiunto che un tale oggetto spesso viene aggettivato con un "formale" per indicare che quella rappresentazione grafica va riguardata per quello che è, appunto UN INSIEME DI SIMBOLI, a cui volendo può anche attribuirsi (a posteriori) un'interpretazione dando significato ai simboli che compaiono in tale rappresentazione.

Non capisco perché ti ostini a fare le pulci a un'impostazione abbastanza accettata e diffusa. Ti ho citato due testi noti e diffusi come l'Herstein e l'Artin che utilizzano questo approccio definitorio, a memoria potrei aggiungere anche il Mac Lane-Birkhoff (dovrei però verificare), ma ve ne sono tanti altri.


Ad ogni modo, se proprio non ti piace questo approccio, possiamo definire A[X] come l'insieme delle successioni a supporto finito di elementi dell'anello A ed evitiamo il problema di scomodare quell'aggettivo.
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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 11:06 am

comp_xt ha scritto:
Sull'esempio delle mele e delle banane, fai molta attenzione perché dire che le mele si sommano fra loro è una stupidaggine a meno che tu non definisca un'operazione di somma all'interno dell'insieme delle mele.
In realtà tu non stai sommano mele ma stai sommando il loro numero e questo lo puoi fare perché negli insiemi numerici le operazioni di somma e prodotto sono definite.
Nel tuo esempio 3 m + 5 p significa moltiplicare per tre il NUMERO delle mele, moltiplicare per 5 il NUMERO delle pere e sommare infine fra loro i due risultati. Tutte operazioni fra numeri ben definite.
Che senso ha parlare di somme fra mele e pere e dire poi che mele con pere non si possono sommare e però lasciare il simbolo + fra i due risultati che indicherebbe però una somma fra le due entità? Se l'addizione fra le due entità non ha senso, non avrebbe senso nemmeno indicarla quando scrivi 3m+3p. Il senso invece ce l'ha proprio perché  non stai sommando frutti ma bensì il loro numero. Ti consiglio di leggere a tale proposito, l'interessante articolo di Israel che ti ho linkato prima.
Esistono due livelli per la matematica, il livello che io chiamo "HS" da Homo Sapiens ed il livello "HSS" da Homo Sapiens Sapiens ovvero da esseri consapevoli di sè; il primo livello è quello definisce la matematica come quella cosa che serve a ........ e che è ........ , il secondo livello, il più nobile, è quello definisce la matematica come quella cosa che è ........ e che volendo può anche essere utilizzata per   ...........

Io sono un ingegnere e prediligo l'approccio utilitaristico, riconosco la sensatezza dell'approccio astratto e ne riconosco anche la maggior nobiltà, ma non riesco a farmene entusiasmare.
Se io che ho la presunzione di essere più intelligente della media e che ho la certezza di essere portato per la matematica più della media delle altre persone, addentrandomi negli ambiti dell'approccio HSS devo procedere con lentezza e fatica, cosa succederà agli altri ?

Le foche "camminano" e nuotano, sarebbe possibile costruire dei sentieri per foche ma è molto più intelligente costruire dei canali, pur nella consapevolezza che con i canali non si può andare nelle alte vette delle montagne.

Veniamo al tuo link http://gisrael.blogspot.it/2011/05/bestiario-matematico-n-13.html

"Come potrei giustificare un passaggio come: 2x + 2y = 2(x + y) nella logica finlandese e di quell'insegnante?"

E' presto risposto: "le mele non si possono sommare con le pere, quindi prendiamo dei sacchetti (le parentesi) ci mettiamo dentro una mela ed una pera, li chiudiamo, abbiamo ora un nuovo elemento, la confezione di mela e pera, ed di questi nuovi elementi ne abbiamo 2".

Quest'approccio permette di giustificare anche 2m+3p=2(m+p)+p.

Quanto alla questione "non stai sommando frutti ma bensì il loro numero", non posso che darti ragione, ma questo non significa che stia facendo un'eresia.

Ricordiamoci una delle più elementari definizioni di "numero naturale" ovvero "i numeri che servono per contare"; sono proprio i numeri che usavano gli HS; la matematica nasce per la propria utilità e si evolve per la propria consistenza più ampia; non è sbagliato tornare alle origini quando si istruisce un novizio, se poi il novizio è buono si proseguirà con "il corso avanzato".

Qual'è la paura dei matematici ? Che prendendo un novizio buono e trattandolo da HS poi lo si atrofizza e non lo si potrà più fare evolvere in HSS ? Con voi è successo ? Voi avete iniziato con Anelli e Campi ?

Ripeto: i miei prendono 4 anche con mele e pere e non dico cosa vorrei fargli con le banane !
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Garamond



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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 12:00 pm

comp_xt ha scritto:
Quella che ha in lingua italiana.
Se definisci il significato di un simbolo, premetti forse la definizione del sostantivo "simbolo"?

Io ho semplicemente definito come "polinomio in una indeterminata x" un oggetto costituito da un determinato insieme di simboli. Ho poi aggiunto che un tale oggetto spesso viene aggettivato con un "formale" per indicare che quella rappresentazione grafica va riguardata per quello che è, appunto UN INSIEME DI SIMBOLI, a cui volendo può anche attribuirsi (a posteriori) un'interpretazione dando significato ai simboli che compaiono in tale rappresentazione.

Non capisco perché ti ostini a fare le pulci a un'impostazione abbastanza accettata e diffusa. Ti ho citato due testi noti e diffusi come l'Herstein e l'Artin che utilizzano questo approccio definitorio, a memoria potrei aggiungere anche il Mac Lane-Birkhoff (dovrei però verificare), ma ve ne sono tanti altri.

Non ho niente in contrario a questo genere di definizioni, fino a quando non si vuole sostenere che siano formali.
Un polinomio formalmente non è un "oggetto costituito da simboli", è un elemento di un particolare insieme; e le parole "elemento" e "insieme" non hanno bisogno di spiegazioni se supponiamo di usare ZFC o una qualche sua estensione, come fa la stragrande maggioranza dei matematici.
È chiaro poi che ci possono essere vari modi (perlopiù equivalenti) di definire i polinomi in ZFC, ma quello che hai dato tu non è uno di questi, salvo definire formalmente simboli, espressioni, ecc. (e in ogni caso un polinomio sarà plausibilmente una classe di equivalenza di espressioni di una determinata forma, non un'espressione di per sé).

Alla luce di questo diventa chiaro che (a+b)/2 è un polinomio, e non semplicemente "un'espressione equivalente a un polinomio".
Confondere la forma con la sostanza è pericoloso, bisognerebbe limitarsi a farlo se si è già consapevoli della differenza tra le due; finché si parla di polinomi le incomprensioni che possono nascerne saranno generalmente innocue, ma già le funzioni possono creare problemi (la funzione è la regola o il grafico?), per non parlare poi degli integrali indefiniti...

comp_xt ha scritto:
Ad ogni modo, se proprio non ti piace questo approccio, possiamo definire A[X] come l'insieme delle successioni a supporto finito di elementi dell'anello A ed evitiamo il problema di scomodare quell'aggettivo.

Questa è la definizione che ho dato anch'io, e credo sia la più diffusa (oltre che conveniente).
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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 12:03 pm

Giacché son bloccato in treno in galleria...:(

@garamond e @compt_xt avete ragione entrambi....ma forse preferireste definire A[x] come oggetto iniziale di una opportuna categoria comma e dimostrarne l'esistenza mediante il teorema del funtore aggiunto di Freyd?
In letteratura ci sono diverse definizioni di 'polinomio', o meglio di anello di di polinomi, e la diversità nelle scelte dei vari autori di solito deriva da come i diversi autori usano questo concetto... Una (non unica, eg vedi sotto) delle ragioni per usare una definizione 'formale' (successioni definitivamente nulle, per dimostrare l'esistenza da un punto di vista insiemistico, o espressioni simboliche, più vicina allo stile di alcuni logici) viene dalla 'confusione' fra polinomio e funzione polinomiale.... Confusione che può causare disastri lavorando su anelli finiti o dovendo gestire cambi di coordinate...ma...non alle superiori (almeno quelle per normo, o sub, dotati....ma ne esistono altre? :p)

@avido tutta la tiritera su la roba 'formale' leva il matematico d'impaccio nel dire che 2x/x= 2 è un (onesto) polinomio, anzi addirittura un monomio (anche se come funzioni hanno diverso dominio...), ma mi guarderei bene di entrare nei dettagli in una classe delle superiori...tu avresti voglia di parlare di anello delle frazioni è tutto ciò che ne consegue?
Anch'io tiro fuori cesti della frutta e debiti e crediti: r-t rappresenta 1 euro che mi deve Roberto e 1 euro che devo pagare di tasse...ma poi evito di portare avanti la cosa per (r-t)^2...mi pare di arrampicarmi sugli specchi....comunque alla fine mi pare che ci capiscano tanto quanto...
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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 12:33 pm

Garamond ha scritto:

Non ho niente in contrario a questo genere di definizioni, fino a quando non si vuole sostenere che siano formali.
Un polinomio formalmente non è un "oggetto costituito da simboli", è un elemento di un particolare insieme; e le parole "elemento" e "insieme" non hanno bisogno di spiegazioni se supponiamo di usare ZFC o una qualche sua estensione, come fa la stragrande maggioranza dei matematici (...)

Guarda, credo che l'incomprensione nasca da un diverso utilizzo dell'aggettivo "formale" - aggettivo che io ho utilizzato semplicemente per indicare che i simboli che utilizzo per rappresentare un polinomio sono simboli, pura forma svuotata di sostanza fino a quando non si fornisce una interpretazione (ma questo è ciò che si intende quando si parla di "polinomio formale" o, in maniera analoga, di "serie formale" - diciture assai diffuse che non ho certo inventato io).
Che poi il polinomio sia l'elemento di un ben determinato insieme è ovvio e non ho certo nulla da obiettare.

L'altra obiezione che mi fai è quando dici che 1/2 * (a+b) è un polinomio.
E certo che lo è, chi mai ha sostenuto il contrario?
Quello che intendevo osservare era solo il fatto che posso dire che è un polinomio solo perché è stata precedentemente definita l'operazione di prodotto fra polinomi.
Ho fatto un discorso analogo a quello che avviene negli insiemi numerici.
È ovvio che 2+4 è un numero naturale, ma lo posso dire perché all'interno dell'insieme N ho definito l'operazione di somma. È questa definizione che dà significato all'espressione 2+4.


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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 12:44 pm

avidodinformazioni ha scritto:

Io sono un ingegnere e prediligo l'approccio utilitaristico, riconosco la sensatezza dell'approccio astratto e ne riconosco anche la maggior nobiltà, ma non riesco a farmene entusiasmare.
Se io che ho la presunzione di essere più intelligente della media e che ho la certezza di essere portato per la matematica più della media delle altre persone, addentrandomi negli ambiti dell'approccio HSS devo procedere con lentezza e fatica, cosa succederà agli altri ?

Le foche "camminano" e nuotano, sarebbe possibile costruire dei sentieri per foche ma è molto più intelligente costruire dei canali, pur nella consapevolezza che con i canali non si può andare nelle alte vette delle montagne.

Veniamo al tuo link http://gisrael.blogspot.it/2011/05/bestiario-matematico-n-13.html

"Come potrei giustificare un passaggio come: 2x + 2y = 2(x + y) nella logica finlandese e di quell'insegnante?"

E' presto risposto: "le mele non si possono sommare con le pere, quindi prendiamo dei sacchetti (le parentesi) ci mettiamo dentro una mela ed una pera, li chiudiamo, abbiamo ora un nuovo elemento, la confezione di mela e pera, ed di questi nuovi elementi ne abbiamo 2".

Quest'approccio permette di giustificare anche 2m+3p=2(m+p)+p.

Quanto alla questione "non stai sommando frutti ma bensì il loro numero", non posso che darti ragione, ma questo non significa che stia facendo un'eresia.

Ricordiamoci una delle più elementari definizioni di "numero naturale" ovvero "i numeri che servono per contare"; sono proprio i numeri che usavano gli HS; la matematica nasce per la propria utilità e si evolve per la propria consistenza più ampia; non è sbagliato tornare alle origini quando si istruisce un novizio, se poi il novizio è buono si proseguirà con "il corso avanzato".

Qual'è la paura dei matematici ? Che prendendo un novizio buono e trattandolo da HS poi lo si atrofizza e non lo si potrà più fare evolvere in HSS ? Con voi è successo ? Voi avete iniziato con Anelli e Campi ?

Ripeto: i miei prendono 4 anche con mele e pere e non dico cosa vorrei fargli con le banane !

Avidodinformazioni,
gli alunni che capitano ai docenti laureati in ingegneria sono mediamente gli stessi che capitano ai docenti laureati in matematica, quindi sappiamo bene con chi abbiamo a che fare.
Va bene quindi didatticamente fare semplificazioni ed evitare formalismi pedanti (o al più presentarli più avanti). Su certe cose basilari però non mi pare giusto transigere.
Le mele non si sommano con le mele, almeno fino a quando non definisci un'operazione di somma fra mele.
Quelli che sommi sono numeri e i ragazzi conoscono le operazioni fra numeri (non le sanno definire rigorosamente ma le conoscono perché hanno imparato quantomeno a far di conto e quindi sono in grado di usarne e di comprenderne alcune proprietà).

Se tu scrivi 3*5 + 8*5 un ragazzo si convince facilmente che il risultato è:

(3+8)*5

Magari non ci aveva mai riflettuto fino ad ora, ma ti assicuro che se ne convince facilmente (sempre che abbia voglia di seguire la lezione, ma questo è un altro discorso).

Siccome questa proprietà non vale solo per il numero 5 ma per qualsiasi altro numero m, è vero anche che:

3 m + 5 m = (3+5) m

In questo modo riconduci tutto a operazioni fra numeri, senza scomodare improbabili somme fra mele.
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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 12:53 pm

avidodinformazioni ha scritto:

"Come potrei giustificare un passaggio come: 2x + 2y = 2(x + y) nella logica finlandese e di quell'insegnante?"

E' presto risposto: "le mele non si possono sommare con le pere, quindi prendiamo dei sacchetti (le parentesi) ci mettiamo dentro una mela ed una pera, li chiudiamo, abbiamo ora un nuovo elemento, la confezione di mela e pera, ed di questi nuovi elementi ne abbiamo 2".

Quest'approccio permette di giustificare anche 2m+3p=2(m+p)+p.

Questo è sbagliato, perché fra parentesi tu scrivi x+y.
Non so se mi spiego, ma tu asserisci che non puoi sommare mele con pere e poi però scrivi x+y dove il simbolo + indica una somma.
Ribadisco, è un approccio concettualmente sbagliato, non c'è semplificazione didattica che tenga. Riconduci tutto a somme fra numeri (cosa che non è nemmeno complicata da fare) e vedrai che questi problemi spariranno.
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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 1:08 pm

comp_xt ha scritto:
Guarda, credo che l'incomprensione nasca da un diverso utilizzo dell'aggettivo "formale" - aggettivo che io ho utilizzato semplicemente per indicare che i simboli che utilizzo per rappresentare un polinomio sono simboli, pura forma svuotata di sostanza fino a quando non si fornisce una interpretazione (ma questo è ciò che si intende quando si parla di "polinomio formale" o, in maniera analoga, di "serie formale" - diciture assai diffuse che non ho certo inventato io).
Che poi il polinomio sia l'elemento di un ben determinato insieme è ovvio e non ho certo nulla da obiettare.

Felice di essermi sbagliato. Ti faccio solo notare che ora parli di simboli con cui rappresenti un polinomio, mentre prima dicevi che un polinomio è un insieme di simboli.

comp_xt ha scritto:
L'altra obiezione che mi fai è quando dici che 1/2 * (a+b) è un polinomio.
E certo che lo è, chi mai ha sostenuto il contrario?

La mia non era un'obiezione. Volevo solo far notare che, con la definizione rigorosa (per non dire "formale", visto che questo aggettivo è problematico), il fatto che (a+b)/2 sia un polinomio diventa banale, per lo stesso motivo che hai detto tu.
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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 1:10 pm

alege76 ha scritto:
forse preferireste definire A[x] come oggetto iniziale di una opportuna categoria comma e dimostrarne l'esistenza mediante il teorema del funtore aggiunto di Freyd?
Ti prego dimmi che stai trollando, le cose che hai scritto non hanno un vero significato ......... o no ?
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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 1:15 pm

alege76 ha scritto:
in una classe delle superiori...tu avresti voglia di parlare di anello delle frazioni è tutto ciò che ne consegue?
Non sono il signore degli anelli e vorrei evitare di diventare un orco; in Matematica (con la M maiuscola) mi sento un nano anche se a volte mi atteggio a uomo, mai ad elfo.
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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 1:42 pm

avidodinformazioni ha scritto:
alege76 ha scritto:
forse preferireste definire A[x] come oggetto iniziale di una opportuna categoria comma e dimostrarne l'esistenza mediante il teorema del funtore aggiunto di Freyd?
Ti prego dimmi che stai trollando, le cose che hai scritto non hanno un vero significato ......... o no ?

Ho preso due piccioni con una fava...^_^ (è tutto corretto, teorema del funtore aggiunto incluso uahuahuahuah....)

http://web.mit.edu/maperez/www/pdf/The%20Freyd's%20adjoint%20functor%20Theorem.pdf

http://wwwf.imperial.ac.uk/~buzzard/maths/research/notes/the_adjoint_functor_theorem.pdf

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+functor+theorem

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors
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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 2:37 pm

alege76 ha scritto:
avidodinformazioni ha scritto:
alege76 ha scritto:
forse preferireste definire A[x] come oggetto iniziale di una opportuna categoria comma e dimostrarne l'esistenza mediante il teorema del funtore aggiunto di Freyd?
Ti prego dimmi che stai trollando, le cose che hai scritto non hanno un vero significato ......... o no ?

Ho preso due piccioni con una fava...
Il concetto di "una fava" ed il concetto di "funtore" devo avere una qualche relazione, solo che non capisco quale.
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Definizione di polinomio
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