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 Definizione di polinomio

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MessaggioOggetto: Definizione di polinomio   Gio Dic 24, 2015 3:06 pm

Promemoria primo messaggio :

La faccio semplice:

a/2 + b/2 è un polinomio (perchè è somma di monomi).

(a+b)/2 è un'espressione assolutamente equivalente tuttavia a cavillare non è solo somma di monomi ma somma di monomi a sua volta DIVISA per un numero (monomio di grado 0).

Si usa dire che anche la seconda forma è un polinomio perchè equivalente alla prima o si usa dire che non lo è perchè contiene una divisione ?
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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 2:40 pm

Ragazzi siam partiti da "a/2 + b/2"; dove saremmo arrivati partendo da sen(x) su x ?
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alege76



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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 2:54 pm

avidodinformazioni ha scritto:

Il concetto di "una fava" ed il concetto di "funtore" devo avere una qualche relazione, solo che non capisco quale.

La F...?
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avidodinformazioni



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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 4:05 pm

comp_xt ha scritto:
avidodinformazioni ha scritto:

"Come potrei giustificare un passaggio come: 2x + 2y = 2(x + y) nella logica finlandese e di quell'insegnante?"

E' presto risposto: "le mele non si possono sommare con le pere, quindi prendiamo dei sacchetti (le parentesi) ci mettiamo dentro una mela ed una pera, li chiudiamo, abbiamo ora un nuovo elemento, la confezione di mela e pera, ed di questi nuovi elementi ne abbiamo 2".

Quest'approccio permette di giustificare anche 2m+3p=2(m+p)+p.

Questo è sbagliato, perché fra parentesi tu scrivi x+y.
Non so se mi spiego, ma tu asserisci che non puoi sommare mele con pere e poi però scrivi x+y dove il simbolo + indica una somma.
Ribadisco, è un approccio concettualmente sbagliato, non c'è semplificazione didattica che tenga. Riconduci tutto a somme fra numeri (cosa che non è nemmeno complicata da fare) e vedrai che questi problemi spariranno.
A riguardo dico che x ed y sono delle lettere in attesa di diventare numeri; se ci sarà un buon motivo per farlo x diventerà 8 ed y diventerà 12; la lettera è una maschera, sotto c'è il numero ed affianco al numero l'operazione che subirà quando si toglierà la maschera.
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franco71



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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 5:04 pm

avidodinformazioni ha scritto:
comp_xt ha scritto:
avidodinformazioni ha scritto:

"Come potrei giustificare un passaggio come: 2x + 2y = 2(x + y) nella logica finlandese e di quell'insegnante?"

E' presto risposto: "le mele non si possono sommare con le pere, quindi prendiamo dei sacchetti (le parentesi) ci mettiamo dentro una mela ed una pera, li chiudiamo, abbiamo ora un nuovo elemento, la confezione di mela e pera, ed di questi nuovi elementi ne abbiamo 2".

Quest'approccio permette di giustificare anche 2m+3p=2(m+p)+p.

Questo è sbagliato, perché fra parentesi tu scrivi x+y.
Non so se mi spiego, ma tu asserisci che non puoi sommare mele con pere e poi però scrivi x+y dove il simbolo + indica una somma.
Ribadisco, è un approccio concettualmente sbagliato, non c'è semplificazione didattica che tenga. Riconduci tutto a somme fra numeri (cosa che non è nemmeno complicata da fare) e vedrai che questi problemi spariranno.
A riguardo dico che x ed y sono delle lettere in attesa di diventare numeri; se ci sarà un buon motivo per farlo x diventerà 8 ed y diventerà 12; la lettera è una maschera, sotto c'è il numero ed affianco al numero l'operazione che subirà quando si toglierà la maschera.
Per salvare capre e cavoli, si può dire che l'espressione x+y (o una generica forma polinomiale) è una legge matematica che associa alle variabili reali x e y, un valore reale secondo l'espressione x+y. Riportare quindi tutto al concetto di funzione. E' corretto?
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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 5:18 pm

alege76 ha scritto:
avidodinformazioni ha scritto:

Il concetto di "una fava" ed il concetto di "funtore" devo avere una qualche relazione, solo che non capisco quale.

La F...?
Ah ecco perchè il funtore mi era simpatico; tutto quello che inizia per "F" ha una marcia in più (ad esempio la Formula 1).
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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 5:22 pm

franco71 ha scritto:
Per salvare capre e cavoli, si può dire che l'espressione x+y (o una generica forma polinomiale) è una legge matematica che associa alle variabili reali x e y, un valore reale secondo l'espressione x+y. Riportare quindi tutto al concetto di funzione. E' corretto?
I matematici ci tengono a sottolineare che un polinomio non è semplicemente una funzione polinomiale, certo considerarla tale aiuta la comprensione, però banalizza.

Il mio "lettera in attesa di un numero" va proprio nella direzione di questa semplificazione.
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alege76



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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 6:32 pm

avidodinformazioni ha scritto:
franco71 ha scritto:
Per salvare capre e cavoli, si può dire che l'espressione x+y (o una generica forma polinomiale) è una legge matematica che associa alle variabili reali x e y, un valore reale secondo l'espressione x+y. Riportare quindi tutto al concetto di funzione. E' corretto?
I matematici ci tengono a sottolineare che un polinomio non è semplicemente una funzione polinomiale, certo considerarla tale aiuta la comprensione, però banalizza.

Il mio "lettera in attesa di un numero" va proprio nella direzione di questa semplificazione.

Immagino saprai che buona parte della teoria dei codici lavora con spazi vettoriali su F_2 (campo con due elementi: 0 e 1=classi dei resti modulo 2...tanto le 'F' ti stano tutte simpatiche, no? :p), ...ora il polinomio t^2-t=t(t-1) (in F_2[t]) induce la funzione nulla da F_2 in sé, pur non essendo il polinomio nullo...è anche per questo che i polinomi non sono la stessa cosa delle 'funzioni polinomiali'... Se l'anello (commutativo unitario) dei coefficienti A è un dominio infinito allora l'anello dei polinomi A[t] e l'anello delle funzioni polinomiali in una variabile da A in A sono isomorfi come A-algebre (commutative unitarie); in generale c'è solo un omomorfismo suriettivo dal primo al secondo, in generale non iniettivo (per esempio se A è un anello finito...)
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alege76



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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 7:00 pm

franco71 ha scritto:
alege76 ha scritto:
avidodinformazioni ha scritto:
franco71 ha scritto:
Per salvare capre e cavoli, si può dire che l'espressione x+y (o una generica forma polinomiale) è una legge matematica che associa alle variabili reali x e y, un valore reale secondo l'espressione x+y. Riportare quindi tutto al concetto di funzione. E' corretto?
I matematici ci tengono a sottolineare che un polinomio non è semplicemente una funzione polinomiale, certo considerarla tale aiuta la comprensione, però banalizza.

Il mio "lettera in attesa di un numero" va proprio nella direzione di questa semplificazione.

Immagino saprai che buona parte della teoria dei codici lavora con spazi vettoriali su F_2 (campo con due elementi: 0 e 1=classi dei resti modulo 2...tanto le 'F' ti stano tutte simpatiche, no? :p), ...ora il polinomio t^2-t=t(t-1) (in F_2[t]) induce la funzione nulla da F_2 in sé, pur non essendo il polinomio nullo...è anche per questo che i polinomi non sono la stessa cosa delle 'funzioni polinomiali'... Se l'anello (commutativo unitario) dei coefficienti A è un dominio infinito allora l'anello dei polinomi A[t] e l'anello delle funzioni polinomiali in una variabile da A in A sono isomorfi come A-algebre (commutative unitarie); in generale c'è solo un omomorfismo suriettivo dal primo al secondo, in generale non iniettivo (per esempio se A è un anello finito...)
Googlando ho trovato questa videolezione:
http://www.oilproject.org/lezione/polinomio-e-funzione-polinomiale-definizione-propriet%C3%A0-ed-esempi-2442.html
Quindi già dal primo minuto ha sparato una cavolata matematica?L'autore ha semplificato un po' troppo?

R (campo dei numeri reali) è un dominio infinito... Il tizio (o la tizia) dovrà poi però sbattersi per dimostrare il cosiddetto principio di identità dei polinomi (due polinomi sono uguali, nel suo senso: cioè come funzioni,  se e solo se hanno gli stessi coefficienti-rispetto alla base, implicitamente, scelta), che è invece implicato direttamente dalla definizione seguendo la via 'formale'... Saprà (forse...) lei o lui perché fa le scelte che fa...


Ultima modifica di alege76 il Ven Dic 25, 2015 7:21 pm, modificato 1 volta
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franco71



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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 7:06 pm

Chiaro. L'identità tra polinomio e funzione polinomiale vale solo se l'applicazione in questione è sempre biunivoca. Vero?
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alege76



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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 7:20 pm

franco71 ha scritto:
Chiaro. L'identità tra polinomio e funzione polinomiale vale solo se l'applicazione in questione è sempre biunivoca. Vero?

Sì, ma...non vorrei essere frainteso...mai proporrei una definizione formale, quale che sia, alle superiori

E comunque... Ciascuno dà le definizioni nel modo più funzionale a quello che seguirà....per alcuni le funzioni polinomiali bastano e avanzano, nulla da obiettare, basta siano coerenti

Tornando alla domanda di avido: (a+b)/2 è un pacifico e simpatico polinomio...e credo che i tuoi studenti non se ne avranno a male se dirai loro che è così perché è uguale a (1/2)x+(1/2)y... Più 'rognoso' sarebbe (2x)/x...(sempre perché l' 'interpretazione funzionale' ha i suoi limiti...il morfismo di anelli di cui parlavo prima...)
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avidodinformazioni



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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 8:04 pm

alege76 ha scritto:
avidodinformazioni ha scritto:
franco71 ha scritto:
Per salvare capre e cavoli, si può dire che l'espressione x+y (o una generica forma polinomiale) è una legge matematica che associa alle variabili reali x e y, un valore reale secondo l'espressione x+y. Riportare quindi tutto al concetto di funzione. E' corretto?
I matematici ci tengono a sottolineare che un polinomio non è semplicemente una funzione polinomiale, certo considerarla tale aiuta la comprensione, però banalizza.

Il mio "lettera in attesa di un numero" va proprio nella direzione di questa semplificazione.

Immagino saprai che buona parte della teoria dei codici lavora con spazi vettoriali su F_2 (campo con due elementi: 0 e 1=classi dei resti modulo 2...tanto le 'F' ti stano tutte simpatiche, no? :p), ...ora il polinomio t^2-t=t(t-1) (in F_2[t]) induce la funzione nulla da F_2 in sé, pur non essendo il polinomio nullo...è anche per questo che i polinomi non sono la stessa cosa delle 'funzioni polinomiali'... Se l'anello (commutativo unitario) dei coefficienti A è un dominio infinito allora l'anello dei polinomi A[t] e l'anello delle funzioni polinomiali in una variabile da A in A sono isomorfi come A-algebre (commutative unitarie); in generale c'è solo un omomorfismo suriettivo dal primo al secondo, in generale non iniettivo (per esempio se A è un anello finito...)
Non pensavo che una banalità come quella da me proposta potesse arrivare fino a questo punto !

Vediamo se ho capito: F_2 è un "Campo" ed ha solo due elementi su cui lavorare, lo "0" e l' "1"; l'espressione che hai scritto è un polinomio e non è il polinomio nullo (ha coefficienti non nulli per i termini di grado 1 e 2), tuttavia visto come funzione polinomiale, essendo calcolabile solo in 0 ed 1 assume sempre valore 0 quindi è identicamente nullo.

Hai quindi fatto un esempio di polinomio che fai malissimo a considerare funzione polinomiale.

Dov'è casato l'asino ? Nel fatto che "la x" (in realtà la t) non era una variabile reale.

Io non sarò mai un matematico perchè la matematica è piena d'insidie e trabocchetti, che solo cercando il pelo nell'uovo riesci a dribblare; io non mi sognerei mai di specificare che la funzione polinomiale si debba riferire ad "X appartenente ad R"; in effetti andrebbe fatto.

Ora la domanda diventa: possiamo confondere polinomio e funzione polinomiale se specifichiamo che x appartiene ad R ?
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franco71



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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Ven Dic 25, 2015 9:42 pm

avidodinformazioni ha scritto:
alege76 ha scritto:
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franco71 ha scritto:
Per salvare capre e cavoli, si può dire che l'espressione x+y (o una generica forma polinomiale) è una legge matematica che associa alle variabili reali x e y, un valore reale secondo l'espressione x+y. Riportare quindi tutto al concetto di funzione. E' corretto?
I matematici ci tengono a sottolineare che un polinomio non è semplicemente una funzione polinomiale, certo considerarla tale aiuta la comprensione, però banalizza.

Il mio "lettera in attesa di un numero" va proprio nella direzione di questa semplificazione.

Immagino saprai che buona parte della teoria dei codici lavora con spazi vettoriali su F_2 (campo con due elementi: 0 e 1=classi dei resti modulo 2...tanto le 'F' ti stano tutte simpatiche, no? :p), ...ora il polinomio t^2-t=t(t-1) (in F_2[t]) induce la funzione nulla da F_2 in sé, pur non essendo il polinomio nullo...è anche per questo che i polinomi non sono la stessa cosa delle 'funzioni polinomiali'... Se l'anello (commutativo unitario) dei coefficienti A è un dominio infinito allora l'anello dei polinomi A[t] e l'anello delle funzioni polinomiali in una variabile da A in A sono isomorfi come A-algebre (commutative unitarie); in generale c'è solo un omomorfismo suriettivo dal primo al secondo, in generale non iniettivo (per esempio se A è un anello finito...)
Non pensavo che una banalità come quella da me proposta potesse arrivare fino a questo punto !

Vediamo se ho capito: F_2 è un "Campo" ed ha solo due elementi su cui lavorare, lo "0" e l' "1"; l'espressione che hai scritto è un polinomio e non è il polinomio nullo (ha coefficienti non nulli per i termini di grado 1 e 2), tuttavia visto come funzione polinomiale, essendo calcolabile solo in 0 ed 1 assume sempre valore 0 quindi è identicamente nullo.

Hai quindi fatto un esempio di polinomio che fai malissimo a considerare funzione polinomiale.

Dov'è casato l'asino ? Nel fatto che "la x" (in realtà la t) non era una variabile reale.

Io non sarò mai un matematico perchè la matematica è piena d'insidie e trabocchetti, che solo cercando il pelo nell'uovo riesci a dribblare; io non mi sognerei mai di specificare che la funzione polinomiale si debba riferire ad "X appartenente ad R"; in effetti andrebbe fatto.

Ora la domanda diventa: possiamo confondere polinomio e funzione polinomiale se specifichiamo che x appartiene ad R ?
Mi sembra che la condizione perchè ciò accada sia quella riportata in grassetto,quindi indipendentemente se i valori di t o t^2-t siano numeri interi o reali, il dominio deve essere infinito. Naturalmente Alege76 ci spiegherà meglio.
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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Sab Dic 26, 2015 10:56 am

Il mio 2-cent contribution al 2x + 3y = 2 mele + 3 pere.

Formalmente, non c'è dubbio che x e y sono numeri.

Veniamo ora alla didattica. Per fare capire a un alunno non tra i più svegli che "2x + 3x" lo posso sostituire con 5x, mentre "2x + 3y" non posso sostituirlo con nulla, le mele e le pere vanno benissimo, perché ci concentriamo sul linguaggio matematico. Non possiamo sommare 2 mele e 3 pere, come non possiamo sommare 2x con 3y; ma appena mele e pere diventano "frutti", ecco che 2 mele + 3 pere diventano 5 frutti, così come quando x e y diventano numeri possono sostituire 2x+3y con un unico numero. Se concentriamo la nostra attenzione su "x" e "y" come simboli (parole) e non come numeri, l'analogia linguistica ha perfettamente senso.

En passant: ho passato anni di scuola con il precetto matematico che non si possono rapportare cose diverse (aree con lati, per esempio). Povero Galileo, che dovette inventarsi giri tortuosi per arrivare alla velocità. Con buona pace dei matematici, si possono rapportare tra loro cose diverse, come distanza percorsa e tempo trascorso.
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MessaggioOggetto: Re: Definizione di polinomio   Sab Dic 26, 2015 11:51 am

avidodinformazioni ha scritto:
comp_xt ha scritto:
avidodinformazioni ha scritto:

"Come potrei giustificare un passaggio come: 2x + 2y = 2(x + y) nella logica finlandese e di quell'insegnante?"

E' presto risposto: "le mele non si possono sommare con le pere, quindi prendiamo dei sacchetti (le parentesi) ci mettiamo dentro una mela ed una pera, li chiudiamo, abbiamo ora un nuovo elemento, la confezione di mela e pera, ed di questi nuovi elementi ne abbiamo 2".

Quest'approccio permette di giustificare anche 2m+3p=2(m+p)+p.

Questo è sbagliato, perché fra parentesi tu scrivi x+y.
Non so se mi spiego, ma tu asserisci che non puoi sommare mele con pere e poi però scrivi x+y dove il simbolo + indica una somma.
Ribadisco, è un approccio concettualmente sbagliato, non c'è semplificazione didattica che tenga. Riconduci tutto a somme fra numeri (cosa che non è nemmeno complicata da fare) e vedrai che questi problemi spariranno.
A riguardo dico che x ed y sono delle lettere in attesa di diventare numeri; se ci sarà un buon motivo per farlo x diventerà 8 ed y diventerà 12; la lettera è una maschera, sotto c'è il numero ed affianco al numero l'operazione che subirà quando si toglierà la maschera.

È sempre una cosa troppo contorta, perché se anziché x+y ci fosse stato 2x + 3 x tu gli avresti detto che potevano scrivere 5 x anche se la x non si è ancora tolta la maschera.

Io credo che come approccio didattico non si debba avere paura di dire, almeno all'inizio,  che x e y sono numeri (che poi questi numeri possano essere rappresentativi anche di quantità concrete è totalmente irrilevante ai fini del nostro discorso).
I ragazzi sanno operare con i numeri, li sanno sommare, li sanno moltiplicare e si convincono facilmente della validità di alcune proprietà di tali operazioni.
Quel segno + rappresenta quindi un'addizione fra numeri, senza che sia necessario che le lettere si "tolgano la maschera".

2x + 5 x = (2+5) x

lo posso scrivere perché negli insiemi numerici che i ragazzi hanno studiato la moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma.

Nell'espressione x+y il segno + rappresenta però sempre il segno della somma definita negli insiemi numerici, è la somma fra il numero x e il numero y, non c'è bisogno di attendere che le lettere si tolgano la maschera!

Il prodotto fra due polinomi viene ugualmente giustificato dalla proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma valida negli insiemi numerici. Questo è lecito perché, appunto, le lettere vengono presentate come numeri.

Questo approccio fra l'altro coincide con il percorso storico che ha portato alla nascita dell'algebra che viene insegnata nei bienni delle scuole superiori: le lettere rappresentano numeri e le operazioni fra lettere sono, di fatto, operazioni fra numeri.

Il passo successivo è astrarre, ossia considerare i polinomi come enti a se stanti, elementi di un insieme definito a partire da un generico anello A, che può essere dotato anch'esso della struttura di anello definendo le operazioni in un determinato modo.
L'interpretazione "concreta" vista prima a questo punto viene a mancare, però è inutile negare che il tutto sia partito da lì: le lettere viste come rappresentative di numeri.
Che poi dall'algebra concreta si finisca per arrivare all'algebra astratta altro non è che la bellezza della matematica!

In altre parole, io mio consiglio è:

- approccio concreto all'inizio
- eventuale astrazione successiva a seconda del livello della classe.
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