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 Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?

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mac67



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MessaggioOggetto: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Dom Feb 28, 2016 11:14 am

A voi la risposta. Poi vi sottopongo un caso semplice, ma illuminante sulla questione.
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Romado72



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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Dom Feb 28, 2016 11:26 am

Punto in cui la f(x) cambia curvatura
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mac67



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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Dom Feb 28, 2016 11:51 am

Ed è una. Non siate timidi!
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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Dom Feb 28, 2016 12:00 pm

Romado72 ha scritto:
Punto in cui la f(x) cambia curvaturaconcaviità
da verso l'alto al verso il basso o viceversa.

Ovviamente faccio un disegno (più illuminante di così ....).

La derivata seconda serve per individuare il flesso, non per capirlo.
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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Dom Feb 28, 2016 12:02 pm

Forse ti riferisci alla retta tangente che taglia la curva anzichè "pelarla" ?

Per vederlo devi disegnare curva e retta, quando disegni la curva già hai visto tutto quello che c'è da vedere.
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@melia



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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Dom Feb 28, 2016 12:05 pm

Il punto c è un punto di flesso per la funzione f(x) se
- la funzione è derivabile in un intorno di c o ha tangente verticale in c;
- la funzione cambia concavità in c.

In pratica non definisco flessi quei punti in cui la funzione cambia concavità, ma non esiste la tangente.
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mac67



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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Dom Feb 28, 2016 12:30 pm

Quindi l'esistenza in x_0 di una retta tangente alla curva, che però la attraversa in x_0, definisce il punto di flesso?
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@melia



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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Dom Feb 28, 2016 12:44 pm

Non riesco a pensare ad un punto di flesso in cui la tangente non attraversi la funzione.
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mac67



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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Dom Feb 28, 2016 12:55 pm

Ho consultato i testi di liceo che ho.

Alcuni danno la definizione usando la retta tangente che attraversa la curva, come @melia.

Altri usano il valore della derivata seconda nel punto (zero) e il suo segno in un suo intorno (positivo da una parte, negativo dall'altra). Le ritenete definizioni equivalenti?
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@melia



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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Dom Feb 28, 2016 1:09 pm

Il Sasso e il Baroncini Manfredi (ex Dodero) dimostrano che sono equivalenti.
D'altra parte si utilizza proprio la tangente (tranne il caso di tangente verticale che si deve trattare a parte) per stabilire la concavità della funzione.
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mac67



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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Dom Feb 28, 2016 1:22 pm

@melia ha scritto:
Il Sasso e il Baroncini Manfredi (ex Dodero) dimostrano che sono equivalenti.
D'altra parte si utilizza proprio la tangente (tranne il caso di tangente verticale che si deve trattare a parte) per stabilire la concavità della funzione.

Il Sasso no, a dire il vero. Il Baroncini Manfredi non so.
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Romado72



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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Dom Feb 28, 2016 1:25 pm

Il mio testo, facendo lo studio del segno della derivata prima dice che se il segno rimane invariato ho un flesso a tg orizzontale. Qundi dice: studio di max/min e flessi tramite studio del segno della derivata prima.
Poi, a seguire parla dell'individuazione dei flessi attraverso lo studio del segno della derivata seconda. E i miei alunni puntualmente si incasinano. Allora, per non farli incasinare, faccio riferimento direttamente alla derivata seconda per lo studio dei flessi: calcolo la derivata seconda, ne studio il segno, individuo gli eventuali flessi e sostituisco quelle x nella derivata prima. Se in quel punto la derivata prima è zero c'è flesso a tg orizzontale; se diversa da 0 c'è flesso obliquo, se la derivata prima in quel punto non esiste e il lim è infinito c'è flesso a tg verticale. Del resto la derivata prima è il coefficiente angolare, quindi capiscono meglio.
Le due definizioni a mio parere sono equivalenti: la prima evidenzia l'aspetto grafico, la seconda definizione quello, se si può dire, più analitico.
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Romado72



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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Dom Feb 28, 2016 1:25 pm

Io utilizzo bergamini/trifone/barozzi
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@melia



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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Dom Feb 28, 2016 1:29 pm

Come no. Per le funzioni derivabili teorema 6.9 pag. 361 dell'edizione 2016 di La matematica a colori edizione blu 5. Nell'edizione precedente la pagina è la 357.
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mac67



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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Dom Feb 28, 2016 2:05 pm

@melia ha scritto:
Come no. Per le funzioni derivabili teorema 6.9 pag. 361 dell'edizione 2016 di La matematica a colori edizione blu 5. Nell'edizione precedente la pagina è la 357.

Per le funzioni derivabili due volte. Ma io non ho posto questa condizione nella mia domanda. E non ne pongo.
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@melia



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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Dom Feb 28, 2016 2:42 pm

mac67 ha scritto:
Ho consultato i testi di liceo che ho.

Alcuni danno la definizione usando la retta tangente che attraversa la curva, come @melia.

Altri usano il valore della derivata seconda nel punto (zero) e il suo segno in un suo intorno (positivo da una parte, negativo dall'altra). Le ritenete definizioni equivalenti?

Non capisco che senso abbia la seconda definizione se la funzione non è derivabile due volte.

Riassumendo:

  • funzione derivabile 2 volte => definizioni equivalenti
  • funzione derivabile una volta, esiste la tangente (quindi la prima definizione va bene), ma non si annulla la derivata seconda nel punto. Se è possibile calcolare il segno della derivata seconda in un intorno destro e in uno sinistro del punto, si può estendere la definizione usando il limite.
  • funzione non derivabile nel punto, si calcolano i limiti delle derivata prima nel punto e se vanno a infinito si parla di tangente verticale, per la derivata seconda se cambia segno ho un flesso


Certo che se dici che la derivata seconda si annulla, implicitamente dici che la funzione è derivabile due volte.
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ushikawa



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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Dom Feb 28, 2016 4:09 pm

E se il flesso è obliquo? la derivata seconda si annulla, la derivata prima raggiunge un massimo nel punto di flesso.
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@melia



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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Dom Feb 28, 2016 4:15 pm

ushikawa ha scritto:
E se il flesso è obliquo? la derivata seconda si annulla, la derivata prima raggiunge un massimo nel punto di flesso.
La funzione è derivabile due volte.
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mac67



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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Dom Feb 28, 2016 4:47 pm

@melia ha scritto:

Riassumendo:

  • funzione derivabile 2 volte => definizioni equivalenti
  • funzione derivabile una volta, esiste la tangente (quindi la prima definizione va bene), ma non si annulla la derivata seconda nel punto. Se è possibile calcolare il segno della derivata seconda in un intorno destro e in uno sinistro del punto, si può estendere la definizione usando il limite.
  • funzione non derivabile nel punto, si calcolano i limiti delle derivata prima nel punto e se vanno a infinito si parla di tangente verticale, per la derivata seconda se cambia segno ho un flesso


Certo che se dici che la derivata seconda si annulla, implicitamente dici che la funzione è derivabile due volte.

Riassunto mio:

Definizione 1: se f''(x_0)=0 e f''(x) cambia segno passando da sinistra a destra di x_0 in un suo intorno, allora x_0 è un punto di flesso.

Definizione 2: Se in x_0 esiste la tangente alla curva di f(x) e tale tangente attraversa la curva (e, viceversa, la curva attraversa la retta), allora x_0 è punto di flesso.

Queste sono le due definizioni che trovo nei libri. Le ritenete equivalenti?
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@melia



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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Dom Feb 28, 2016 5:03 pm

Non sono la stessa cosa perché nel primo caso escludi i flessi a tangente verticale, mentre nel secondo no.

Ma l'avevo già detto, i flessi a tangente verticale sono un discorso a parte.
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comp_xt



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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Dom Feb 28, 2016 5:40 pm

xo è un punto di flesso se:

esiste un intorno sinistro di xo in cui la funzione è concava e un intorno destro in cui la funzione è convessa

oppure

esiste un intorno sinistro di xo in cui la funzione è convessa e un intorno destro in cui la funzione è concava.


Tale definizione non richiede che la funzione sia derivabile due volte in un intorno di xo.


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Romado72



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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Dom Feb 28, 2016 6:22 pm

Invece secondo me la definizione 1 non esclude quelli a tg verticale. Se vai a controllare il valore nella derivata prima hai il tipo di flesso, come ho detto prima
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ushikawa



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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Dom Feb 28, 2016 7:35 pm

non è detto che la funzione debba essere per forza derivata sulla x, può esserlo anche sulla y...
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@melia



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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Lun Feb 29, 2016 6:04 pm

comp_xt ha scritto:
xo è un punto di flesso se:
esiste un intorno sinistro di xo in  cui la funzione è concava e un intorno destro in cui la funzione è convessa
oppure
esiste un intorno sinistro di xo in  cui la funzione è convessa e un intorno destro in cui la funzione è concava.

Tale definizione  non richiede che la funzione sia derivabile due volte in un intorno di xo.

Con questa definizione ammetti come flessi anche punti angolosi per il solo fatto che a destra e a sinistra la funzione cambia di concavità. O addirittura flessi in punti di discontinuità della funzione.
Tipo la funzione
f(x)=x^2 per x<=1 e f(x)= -2x^2+8x-5 per x>1
Nel punto (1;1) la funzione cambia di concavità, ma non mi permetterei mai di chiamarlo punto di flesso, le tangenti destra e sinistra sono diverse.
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comp_xt



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MessaggioOggetto: Re: Per i docenti di matematica: come definite il punto di flesso di una funzione?   Lun Feb 29, 2016 6:19 pm

@melia ha scritto:
comp_xt ha scritto:
xo è un punto di flesso se:
esiste un intorno sinistro di xo in  cui la funzione è concava e un intorno destro in cui la funzione è convessa
oppure
esiste un intorno sinistro di xo in  cui la funzione è convessa e un intorno destro in cui la funzione è concava.

Tale definizione  non richiede che la funzione sia derivabile due volte in un intorno di xo.

Con questa definizione ammetti come flessi anche punti angolosi per il solo fatto che a destra e a sinistra la funzione cambia di concavità. O addirittura flessi in punti di discontinuità della funzione.
Tipo la funzione
f(x)=x^2 per x<=1 e f(x)= -2x^2+8x-5 per x>1
Nel punto (1;1) la funzione cambia di concavità, ma non mi permetterei mai di chiamarlo punto di flesso, le tangenti destra e sinistra sono diverse.

Giusto.
Ho dimenticato di includere l'ipotesi che in xo la funzione sia derivabile oppure che xo sia un punto a tangente verticale.
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