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 problemi trigonometria

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comp_xt



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MessaggioOggetto: problemi trigonometria   Lun Mar 07, 2016 5:14 pm

Nella verifica scritta di trigonometria assegnata a una quarta di liceo scientifico c'era un problema nel quale, fra i dati, erano forniti i coseni di due angoli.

Uno studente, con l'ausilio della calcolatrice scientifica, ha determinato la misura approssimata dei due angoli e determinato di conseguenza la misura del terzo angolo.
Utilizzando tali dati procedeva poi a rispondere alle varie richieste del problema, che venivano così determinate in forma approssimata.
Durante le lezioni avevo più volte avvisato i ragazzi che nei problemi puramente geometrici era richiesto che operassero con i valori esatti (nel caso in questione avrebbero dovuto determinare le funzioni goniometriche del terzo angolo mediante l'utilizzo delle formule goniometriche) -mentre avrebbero potuto utilizzare delle approssimazioni nelle applicazioni reali della trigonometria (ma in tale caso è evidente che fra i dati vengono fornite le misure di determinati angoli, non le loro funzioni goniometriche).
Il ragazzo tuttavia, per quanto abbia trovato i valori approssimati delle funzioni goniometriche del terzo angolo, ha continuato a svolgere il problema applicando correttamente i teoremi di trigonometria.
Come vi regolereste per la valutazione della risoluzione di questo problema?
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avidodinformazioni



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MessaggioOggetto: Re: problemi trigonometria   Lun Mar 07, 2016 5:18 pm

Sono un ingegnere elettronico e seni e coseni li uso, voi li studiate per renderli disponibili a me; ti assicuro che dover calcolare il seno di 60° è evento raro, più facile dover calcolare il seno di 27,25°; fagliela usare sta calcolatrice, tu a casa il fuoco non lo accendi con la pietra focaia.
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mac67



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MessaggioOggetto: Re: problemi trigonometria   Lun Mar 07, 2016 5:37 pm

Nell'ottica delle competenze, il "come" arrivare al risultato lo sceglie l'alunno.

La goniometria va sfoltita notevolmente: le formule di addizione e sottrazione uno le fa, ma alla fine, non servono poi così tanto.

Io, nella griglia di valutazione, inserirei un punteggio positivo, ma non massimo, nel caso che descrivi tu. Punteggio positivo, perché è giunto al risultato in modo corretto; non il massimo, perché il risultato è approssimato, mentre poteva essere ottenuto in forma esatta.
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comp_xt



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MessaggioOggetto: Re: problemi trigonometria   Lun Mar 07, 2016 5:39 pm

avidodinformazioni ha scritto:
Sono un ingegnere elettronico e seni e coseni li uso, voi li studiate per renderli disponibili a me; ti assicuro che dover calcolare il seno di 60° è evento raro, più facile dover calcolare il seno di 27,25°; fagliela usare sta calcolatrice, tu a casa il fuoco non lo accendi con la pietra focaia.

La prova prevedeva la risoluzione sia di problemi relativi ad applicazioni alla realtà che problemi "teorici".
Il problema in questione non forniva gli angoli (in tal caso sarebbe stato lecito il tuo ragionamento) ma i loro coseni.
Questo dato era sufficiente a determinare il seno del terzo angolo che sarebbe poi servito per rispondere alle richieste del problema.
È chiaro che una delle abilità che volevo verificare tramite quel problema era che lo studente fosse in grado di applicare correttamente le formule goniometriche per determinare il valore esatto del seno del terzo angolo una volta che sono noti il seno e il coseno degli altri due.


Ultima modifica di comp_xt il Lun Mar 07, 2016 5:54 pm, modificato 1 volta
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comp_xt



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MessaggioOggetto: Re: problemi trigonometria   Lun Mar 07, 2016 5:53 pm

mac67 ha scritto:
Nell'ottica delle competenze, il "come" arrivare al risultato lo sceglie l'alunno.

La goniometria va sfoltita notevolmente: le formule di addizione e sottrazione uno le fa, ma alla fine, non servono poi così tanto.

Io, nella griglia di valutazione, inserirei un punteggio positivo, ma non massimo, nel caso che descrivi tu. Punteggio positivo, perché è giunto al risultato in modo corretto; non il massimo, perché il risultato è approssimato, mentre poteva essere ottenuto in forma esatta.

Sono anch'io orientato a fare così, non voglio certo penalizzare eccessivamente un ragazzo che comunque ha mostrato di individuare una strategia risolutiva corretta.
Esiste comunque una differenza fra una soluzione esatta e una approssimata e mentre in fisica, informatica, elettronica... si opera ovviamente con  approssimazioni - in matematica non sempre la cosa è lecita (altrimenti, tanto per fare un esempio, non ci sarebbe alcuna differenza fra determinare le soluzioni per radicali di un'equazione algebrica o determinarle attraverso un qualsiasi metodo numerico - e Abel e Galois non avrebbero avuto tutta l'importanza che viene loro attribuita nella storia della matematica).

Sullo sfoltimento della goniometria, sono perfettamente d'accordo tanto è vero che da ora alla fine dell'anno farò altre cose (calcolo combinatorio, probabilità,...).
Credo però che gli studenti debbano conoscere ed essere in grado di applicare almeno le formule fondamentali (come quella di addizione e sottrazione del seno e del coseno).
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mac67



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MessaggioOggetto: Re: problemi trigonometria   Lun Mar 07, 2016 5:58 pm

comp_xt ha scritto:

È chiaro che una delle abilità che volevo verificare tramite quel problema era che lo studente fosse in grado di applicare correttamente le formule goniometriche per determinare il valore esatto del seno del terzo angolo una volta che sono noti il seno e il coseno degli altri due.

In casi come questi, scrivo esplicitamente nel testo "senza fare uso della calcolatrice".
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MessaggioOggetto: Re: problemi trigonometria   Lun Mar 07, 2016 6:05 pm

comp_xt ha scritto:
Esiste comunque una differenza fra una soluzione esatta e una approssimata e mentre in fisica, informatica, elettronica... si opera ovviamente con  approssimazioni - in matematica non sempre la cosa è lecita (altrimenti, tanto per fare un esempio, non ci sarebbe alcuna differenza fra determinare le soluzioni per radicali di un'equazione algebrica o determinarle attraverso un qualsiasi metodo numerico - e Abel e Galois non avrebbero avuto tutta l'importanza che viene loro attribuita nella storia della matematica).
Premesso che mi vergogno di non sapere di cosa parli pur insegnando matematica, sono però orgoglioso di sapere cosa ci abbiano lasciato Newton e Gauss; ci sono equazioni che non possono essere risolte in maniera esatta nemmeno a morirci, le trascendenti ma immagino anche le quarto grado qualsiasi; i metodi numerici te li devi smazzare, se vuoi e se non vuoi.

Quando te li sei smazzati perchè non usarli anche con le terzo grado ?

Io dico che se uno ha un'equazione di terzo grado e per via numerica scopre che 2.999 è soluzione, se non prova a dividerla per (x-3) è un pirla; se invece trova 2.527, che sia esattamente 2.52752 o chissà quale numero che inizia per 2.527 non frega nulla a nessuno.
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MessaggioOggetto: Re: problemi trigonometria   Lun Mar 07, 2016 6:09 pm

avidodinformazioni ha scritto:

Premesso che mi vergogno di non sapere di cosa parli pur insegnando matematica, sono però orgoglioso di sapere cosa ci abbiano lasciato Newton e Gauss; ci sono equazioni che non possono essere risolte in maniera esatta nemmeno a morirci, le trascendenti ma immagino anche le quarto grado qualsiasi; i metodi numerici te li devi smazzare, se vuoi e se non vuoi.

Per le equazioni di quarto grado c'è al formula risolutiva. Un lenzuolo, ma c'è.
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MessaggioOggetto: Re: problemi trigonometria   Lun Mar 07, 2016 6:24 pm

mac67 ha scritto:
avidodinformazioni ha scritto:

Premesso che mi vergogno di non sapere di cosa parli pur insegnando matematica, sono però orgoglioso di sapere cosa ci abbiano lasciato Newton e Gauss; ci sono equazioni che non possono essere risolte in maniera esatta nemmeno a morirci, le trascendenti ma immagino anche le quarto grado qualsiasi; i metodi numerici te li devi smazzare, se vuoi e se non vuoi.

Per le equazioni di quarto grado c'è al formula risolutiva. Un lenzuolo, ma c'è.
Ho appena visto; ricordavo male.
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MessaggioOggetto: Re: problemi trigonometria   Lun Mar 07, 2016 6:24 pm

Ho anche letto di Galois e dei suoi gruppi.
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ozymandias



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MessaggioOggetto: Re: problemi trigonometria   Lun Mar 07, 2016 6:59 pm

Io evito valori bloccanti per i successivi punti di un esercizio. Se devono calcolare in qualche modo un valore fondamentale per i successivi punti di un esercizio, do loro il valore e chiedo di verificarlo. Recentemente in un compito ho dato una parametrica di 2 grado e ho chiesto: dopo aver verificato che l'equazione ammette valori reali per k>1/2...
Se non riescono a verificarlo almeno possono andare avanti correttamente.
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Felipeto



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MessaggioOggetto: Re: problemi trigonometria   Lun Mar 07, 2016 7:46 pm

Le approssimazioni nei passaggi intermedi tendono a propagare e gonfiare l errore finale.fin dove possibile l alunno proceda con l uso delle formule senza perdere pezzi per strada.pee avido:gli ing a volte applicano la matematica brutalmente ma prima debbono passare sotto le grinfie di analisi matematica..i docenti universitari non tollerano approssimazioni violente. E trattandosi di liceo...un po' di penalizzazione la inserirei nella valutazione.
Ad esempio nel calcolo dei triangoli,non faccio mai calcolare con formule il terzo angolo.sopra teorema dei segni e di carnot vigila la certezza della vita,la somma degli angoli interni è 180!!!il terzo angolo si ottiene per differenza,e almeno su quello non facciamo errori ed approssimazioni..
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avidodinformazioni



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MessaggioOggetto: Re: problemi trigonometria   Lun Mar 07, 2016 8:19 pm

Felipeto ha scritto:
Ad esempio nel calcolo dei triangoli,non faccio mai calcolare con formule il terzo angolo.sopra teorema dei segni e di carnot vigila la certezza della vita,la somma degli angoli interni è 180!!!il terzo angolo si ottiene per differenza,e almeno su quello non facciamo errori ed approssimazioni..
non in presenza di un campo gravitazionale che curvi lo spaziotempo.
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Felipeto



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MessaggioOggetto: Re: problemi trigonometria   Lun Mar 07, 2016 9:55 pm

Vale per la trigonometria piana.un triangolo sferico,costruito su una superficie sferica NON rispetta questa proprietà sulla somma angoli i terni
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paniscus_2.0



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MessaggioOggetto: Re: problemi trigonometria   Lun Mar 07, 2016 10:10 pm

Scusate, ma francamente non vedo il problema... se nell'esercizio c'è scritto chiaramente: "risolvere utilizzando le proprietà goniometriche senza fare uso di approssimazioni numeriche" (oppure non c'è scritto, ma è stato chiarito in tutte le salse prima del compito e anche nelle esercitazioni precedenti), e lo studente si ostina a volerlo fare lo stesso come pare a lui, senza rispettare le consegne del compito, gli si abbassa il voto e festa finita. Magari non gli si annulla l'esercizio del tutto, ma di sicuro lo si valuta come parziale. Non vedo cosa ci sia da sentirsi in colpa.

Quell'esercizio serviva a valutare se lo studente ha capito le proprietà goniometriche, o serviva a valutare quanto è bravo a premere i tasti della calcolatrice?
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comp_xt



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MessaggioOggetto: Re: problemi trigonometria   Mar Mar 08, 2016 1:03 pm

paniscus_2.0 ha scritto:
Scusate, ma francamente non vedo il problema... se nell'esercizio c'è scritto chiaramente: "risolvere utilizzando le proprietà goniometriche senza fare uso di approssimazioni numeriche" (oppure non c'è scritto, ma è stato chiarito in tutte le salse prima del compito e anche nelle esercitazioni precedenti), e lo studente si ostina a volerlo fare lo stesso come pare a lui, senza rispettare le consegne del compito, gli si abbassa il voto e festa finita. Magari non gli si annulla l'esercizio del tutto, ma di sicuro lo si valuta come parziale. Non vedo cosa ci sia da sentirsi in colpa.

Quell'esercizio serviva a valutare se lo studente ha capito le proprietà goniometriche, o serviva a valutare quanto è bravo a premere i tasti della calcolatrice?

A dire il vero non l'avevo scritto, ma l'ho ripetuto a voce sia il giorno del compito che nelle lezioni precedenti.
Chiarisco comunque che il mio problema non è giustificare la valutazione perché il ragazzo sapeva benissimo quale era la mia richiesta, ma non sapendo procedere in tal modo ha pensato di determinare gli angoli (approssimati) con la calcolatrice e in questo modo ha potuto proseguire con la risoluzione del problema.
Quel ragazzo è quindi consapevole del fatto che la risoluzione non verrà considerata come totalmente corretta.
Il principale motivo per cui ho aperto questa discussione è quello di discutere con dei colleghi sull'opportunità di proporre ancora esercizi/problemi che richiedano di operare con le formule goniometriche fondamentali.
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mac67



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MessaggioOggetto: Re: problemi trigonometria   Mar Mar 08, 2016 1:17 pm

comp_xt ha scritto:

A dire il vero non l'avevo scritto, ma l'ho ripetuto a voce sia il giorno del compito che nelle lezioni precedenti.
Chiarisco comunque che il mio problema non è giustificare la valutazione perché il ragazzo sapeva benissimo quale era la mia richiesta, ma non sapendo procedere in tal modo ha pensato di determinare gli angoli (approssimati) con la calcolatrice e in questo modo ha potuto proseguire con la risoluzione del problema.
Quel ragazzo è quindi consapevole del fatto che la risoluzione non verrà considerata come totalmente corretta.
Il principale motivo per cui ho aperto questa discussione è quello di discutere con dei colleghi sull'opportunità di proporre ancora esercizi/problemi che richiedano di operare con le formule goniometriche fondamentali.

E' una cosa che dovremmo fare spesso per qualsiasi argomento.

C'è un solo caso, per quanto mi viene in mente, in cui è necessario conoscere le formule di addizione e sottrazione: quando si ricava la derivata delle funzioni seno e coseno.

Le Indicazioni Nazionali puntano verso un forte ridimensionamento della goniometria, il che mi trova abbastanza d'accordo. Nelle bozze iniziali avevano esagerato, togliendo quasi tutto, ma Werner e prostaferesi non sono poi così fondamentali. Per quel che ne so, all'estero di goniometria studiano davvero poco, anche in nazioni come Germania e Francia, che hanno contenuti simili ai nostri.

Aggiungo che è solo per via della nostra formazione che riteniamo importanti le formule di Werner e prostaferesi: le abbiamo studiate da alunni, le ritroviamo sul libro, => sono importanti. ma di formule goniometriche che non usiamo ce ne sono una quantità enorme.

Insomma, dopo le formule di addizione e sottrazione, a mio avviso bastano cenni per le altre. E se un giorno un nostro studente avrà bisogno di formule particolari, si spera che saprà dove trovarle.
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Felipeto



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MessaggioOggetto: Re: problemi trigonometria   Mar Mar 08, 2016 1:42 pm

Errore.in alcuni problemi di topografia, ai geometri,le formule di prostaferesi sono essenziali.la trigonometria non serve a una mazza nei commerciali. Nei tecnici per geometri e nei licei, anche in vista dei test per facoltà scientifiche, reputo invece che vada studiata in modo approfondito
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comp_xt



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MessaggioOggetto: Re: problemi trigonometria   Mar Mar 08, 2016 1:59 pm

Felipeto ha scritto:
la trigonometria non serve a una mazza nei commerciali.

Non conosco quali siano i programmi dei commerciali post riforma - tuttavia ricordo, per aver insegnato anni fa in un ITC indirizzi Igea e programmatori Mercurio, che in quinta si arrivava a determinare i massimi e i minimi di funzioni in due variabili ma che non veniva svolta la goniometria perché i modelli legati a situazioni economiche con i quali si operava non richiedevano l'utilizzo di funzioni goniometriche.
Il paradosso è che quando si iscrivono all'università in facoltà scientifiche la conoscenza della goniometria e della trigonometria viene data per scontata (sia negli esami di matematica che in quelli di fisica) mentre lo studio dell'analisi parte praticamente da zero. Forse allora sarebbe stato preferibile lasciar perdere il calcolo differenziale delle funzioni di due variabili e fare qualcosa di goniometria e trigonometria.

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avidodinformazioni



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MessaggioOggetto: Re: problemi trigonometria   Mar Mar 08, 2016 2:20 pm

comp_xt ha scritto:
Felipeto ha scritto:
la trigonometria non serve a una mazza nei commerciali.

Non conosco quali siano i programmi dei commerciali post riforma - tuttavia ricordo, per aver insegnato anni fa in un ITC indirizzi Igea e programmatori Mercurio, che in quinta si arrivava a determinare i massimi e i minimi di funzioni in due variabili ma che non veniva svolta la goniometria perché i modelli legati a situazioni economiche con i quali si operava non richiedevano l'utilizzo di funzioni goniometriche.
Il paradosso è che quando si iscrivono all'università in facoltà scientifiche la conoscenza della goniometria e della trigonometria viene data per scontata (sia negli esami di matematica che in quelli di fisica) mentre lo studio dell'analisi parte praticamente da zero. Forse allora sarebbe stato preferibile lasciar perdere il calcolo differenziale delle funzioni di due variabili e fare qualcosa di goniometria e trigonometria.

Ai miei tempi al poli si faceva un "corso di azzeramento di matematica"; mi sembra un approccio più corretto che insegnare a tutti quel che al 90 % non serve.

PS in elettronica servono le formule di Werner e le spieghiamo/richiamiamo noi elettronici; anche questo mi sembra normale mentre non lo è che i ragazzi poi non le sappiano lo stesso.
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MessaggioOggetto: Re: problemi trigonometria   Mar Mar 08, 2016 4:38 pm

In realtà al commerciale le funzioni a due variabili e l hessiano le stiamo sviluppando in quinta in quanto esplicitamente presenti nel testo Propedeutici alla parte successiva (ottimizzazione ecc)..le funzioni periodiche hanno pressoché nulla applicazione in ambito finanziario
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Romado72



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MessaggioOggetto: Re: problemi trigonometria   Mar Mar 08, 2016 9:54 pm

Confermo quello che dice Filipeto. Una curiosità, te hai spiegato anche il moltiplicatore di Lagrange? Io a dire il vero l'avevo messo in programmazione, ma ho bypassato, viste le evidenti lacune anche nel calcolo della derivata di una funzione ad una sola variabile (è stata una faticaccia!!) e ora alle prese con i modelli di scelta. Siamo già a marzo!!!
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Felipeto



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MessaggioOggetto: Re: problemi trigonometria   Mar Mar 08, 2016 10:22 pm

Si,per fortuna oltre a prime e seconde ho due quarte poco numerose e abbastanza preparate..pacioccano benone con le derivate.
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Romado72



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MessaggioOggetto: Re: problemi trigonometria   Mar Mar 08, 2016 10:30 pm

Capirai, io sono al serale, per loro "derivate" fino a qualche mese fa poteva essere una forma verbale nuova del verbo "derivare", vista l'estrema etetogeneità degli alunni e i diversi pregressi.
Vederli predisporre la matrice Hessiana adesso è una soddisfazione enorme! Non l'avrei mai creduto!! ma la funzione Lagrangiana mi sembrava troppo, quindi max/min vincolati solo per sostituzione.
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problemi trigonometria
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