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 Problemi di massimo e di minimo

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AutoreMessaggio
Garamond



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MessaggioOggetto: Problemi di massimo e di minimo   Sab Ott 01, 2016 2:02 pm

Sto cercando esempi di problemi reali risolubili impostando una funzione obiettivo e calcolandone i punti di massimo o di minimo con la derivata prima.
L'idea è proporre un'attività da svolgere in classe, ed eventualmente in parte a casa, che sia più significativa rispetto ai soliti esercizi con contesto forzato che si trovano nei libri (cfr. il contadino che vuole costruire un recinto rispettando qualche vincolo strampalato).

Ho pensato a qualche esempio tratto dalla fisica o dalla chimica, ma ho l'impressione che certi argomenti richiedano troppi prerequisiti della particolare disciplina, o che per essere veramente significativi si debba determinare la funzione risolvendo un'equazione differenziale, che al momento è fuori della portata degli alunni (se la funzione che modellizza il fenomeno devo dargliela io, tanto vale fare il classico studio di funzione puramente teorico).

Qualcuno ha qualche suggerimento da darmi?

Grazie.
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Lenar



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Sab Ott 01, 2016 4:01 pm

Così a occhio mi verrebbe da dire, data una funzione che lega i costi alla quantità di beni prodotta, trovare la quantità di produzione che minimizzi i costi.

Oppure ricavare il tempo che impiega un proiettile, sparato con velocità iniziale V0 ed alzo a, a raggiungere il culmine della sua parabola.

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AndreaOdi



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Sab Ott 01, 2016 4:35 pm

Ad esempio il problema del bagnino è un classico, che poi di fatto è la legge di Snell.
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mac67



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Sab Ott 01, 2016 4:38 pm

La lattina per bibite. Anche se poi il risultato non corrisponde a quella che è usata, ma su questo si può allargare il discorso.
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AndreaOdi



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Sab Ott 01, 2016 4:41 pm

Un altro esempio interessante è quello del max trasferimento di potenza da un generatore ad un carico. Hai un generatore che puoi utilmente schematizzare con un generatore di tensione ideale in serie ad una resistenza interna Rint. Questo alimenta un carico R. Trova il valore di R che massimizza la potenza trasferita (R = Rint)
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AndreaOdi



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Sab Ott 01, 2016 4:46 pm

Questo del max trasferimento di potenza è quanto devi considerare per dimensionare gli amplificatoei: la resistenza i terna dello stadio d'uscita deve essere approssimativamente uguale a quella del carico. Intuitivamente: se il carico ha resistenza R troppo piccola avrai tutta la caduta di tensione all'interno dell'amplificatore (la delta V ai capi del carico sarà piccola). Se invece la R è troppo grande passerà poca corrente e quindi, di nuovo, la potenza trasferita sarà poca.
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Felipeto



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Sab Ott 01, 2016 10:58 pm

Calcolo della angolo di lancio balistico che massimizza la gittata,trascurando la resistenza della aria. Calcolo della velocità ottimale di una nave che ottimizza tempi e consumi..
In fisica ed ingegneria ci sono migliaia di esempi in cui è necessario massimizzare o minimizzare una grandezza.
Per non parlare della matematica finanziaria,problemi di ottimizzazione della produzione ecc.
Mi stupisce questa domanda..
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Felipeto



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Sab Ott 01, 2016 11:11 pm

Prendi i dati di coppia /numero giri di un qualche motore su internet.
Porta i ragazzi in laboratorio ed utilizzando la linea di tendenza di Excel trovate la funzione che approssima i dati sperimentali. Dopodiché calcolate il massimo della curva.dato motoristico essenziale in quanto ci fornisce il regime di massima efficienza e minimo consumo di un motore.
Come tutti sanno la curva di coppia di un motore termico ha un massimo ad un certo regime di rotazione
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avidodinformazioni



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Dom Ott 02, 2016 1:39 am

https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_Born-Land%C3%A9

In un cristallo gli atomi si pongono ad una distanza ben precisa, equilibro tra le forze elettriche di attrazione e quelle di repulsione di origine quantistica; non ti spaventare dalla formulazione di wikipedia, tu puoi scrivere che l'energia è differenza di un termine B/r^n ed un termine A/r con n ad esempio 7.

Il minimo d'energia individua la distanza r di equilibrio.
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avidodinformazioni



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Dom Ott 02, 2016 1:45 am

Un'automobile consuma in proporzione al tempo di uso del motore (motore al minimo) ed al regime di rotazione; se si va troppo piano ci si mette troppo ad arrivare ed il minimo del motore consuma troppo, se si va troppo forte bisogna spostare troppa aria ed il motore consuma troppo, quindi c'è una velocità ottimale.

Puoi dire che il consumo è A*t+B*v aggiungendo che t=distanza/v
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AndreaOdi



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Dom Ott 02, 2016 11:12 am

Quella della distanza tra atomi è interessante. Però andrebbe girata al contrario: io bronchi sperimentalmente la forza è attrattiva sopra ad una certa distanza ed è repulsiva a distanza inferiore. Quindi ipotizzo un potenziale del.tipo che dici tu e, sula base dei dati sperimentali ( cioè della distanza di equilibrio) ricavo informazioni sui coefficienti di accoppiamento. È un problema interessante in generale perché permette di parlare di modelli matematici: nessuno sa se il potenziale sia veramente 1/r^7 - 1/r^6 ( o quello che vuoi... ad esempio lennard Jones mi par usi esponenti 12 e 13) ma, semplicemente, lo si ipotizza, si fa un modello cercando di descrivere la realtà sperimentale. Questo credo sia un concetto molto importante da trasmettere, soprattutto allo scientifico.
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Garamond



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Dom Ott 02, 2016 11:43 am

Grazie a tutti per le risposte.

Felipeto ha scritto:
In fisica ed ingegneria ci sono migliaia di esempi in cui è necessario massimizzare o minimizzare una grandezza.
Per non parlare della matematica finanziaria,problemi di ottimizzazione della produzione ecc.
Mi stupisce questa domanda..

Ripeto, il mio problema non è trovare esempi di ottimizzazione in generale. Mi servirebbero esempi in cui il contesto
1) non richieda grandi conoscenze di una particolare disciplina (per esempio, sono costretto a scartare quelli sull'elettromagnetismo, che manca totalmente ai ragazzi);
2) non sia una forzatura (per esempio, il bagnino di certo non si mette a calcolare derivate...);
3) non sia una semplice decorazione (per esempio, se la funzione dei costi da minimizzare la do io, uno può anche ignorare il testo del problema e risolvere comunque l'esercizio).
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Felipeto



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Dom Ott 02, 2016 11:49 am

Il problema del consumo di avido,che è molto simile a quello della nave proposto da me, è interessante in quanto aggancia la cinematica
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@melia



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Dom Ott 02, 2016 12:03 pm

Quella della lattina proposta da mac67 o quella del cono (volume costante, minima superficie totale o minima superficie laterale se lo vuoli senza "tappo") sono dei classici, come quello di costruzione della scatola di volume massimo a partire da un foglio rettangolare, ripiegando i bordi. Oppure, riferendoti al campo edilizio, la costruzione di una piscina cercare la spesa minima, tenendo costante il volume, ma prevedendo una spesa per la costruzione del fondo diversa da quella delle pareti.
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seasparrow



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Dom Ott 02, 2016 12:26 pm

Felipeto ha scritto:
Il problema del consumo di avido, che e' molto simile a quello della nave proposto da me, e' interessante in quanto aggancia la cinematica
anche per me il calcolo della velocita' ottima di consumo minimo di un mezzo in aria o acqua e' realistico, gestibile e interessante
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mac67



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Dom Ott 02, 2016 12:27 pm

AndreaOdi ha scritto:
È un problema interessante in generale perché permette di parlare di modelli matematici: nessuno sa se il potenziale sia veramente 1/r^7 - 1/r^6 ...

Nessuno dei due. Il primo a grandi distanze, il secondo a piccole distanze. L'espressione generale è stata ricavata da Casimir e Polder nel 1948.

http://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.73.360
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AndreaOdi



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Dom Ott 02, 2016 3:52 pm

Mi scuso per i typo causati un po dalla mia incuria ed un po dall'uso dello Smartphone. Sono in campagna e non ho altri accessi se non il telefono
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geo&geo



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Dom Ott 02, 2016 6:05 pm

Garamond ha scritto:
Mi servirebbero esempi in cui il contesto
1) non richieda grandi conoscenze di una particolare disciplina (per esempio, sono costretto a scartare quelli sull'elettromagnetismo, che manca totalmente ai ragazzi);
2) non sia una forzatura (per esempio, il bagnino di certo non si mette a calcolare derivate...);
3) non sia una semplice decorazione (per esempio, se la funzione dei costi da minimizzare la do io, uno può anche ignorare il testo del problema e risolvere comunque l'esercizio).

Dopo razzi, navi e cristalli, questo è un po' prosaico... Sei il signor Lagostina e vuoi costruire casseruole che abbiano il maggior volume possibile, usando meno acciaio possibile

PS: vedo ora che erano già state proposte lattine, coni e piscine, sostanzialmente dello stesso tipo. Rilancio chiedendovi se esiste una dimostrazione "semplice" del fatto che la cella esagonale degli alveari è quella che minimizza il consumo di cera, a parità di volume.
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Felipeto



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Dom Ott 02, 2016 6:34 pm

Eh no. ..il razzo è dotato di sistema propulsivo,non segue una traiettoria parabolica,o approssimabile a tale.
Se parliamo di missili balistici icbm, durante una fase di volo a motori spenti ad altissima quota si,la traiettoria è parabolica,ma non per molto
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avidodinformazioni



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Dom Ott 02, 2016 7:55 pm

geo&geo ha scritto:
PS: vedo ora che erano già state proposte lattine, coni e piscine, sostanzialmente dello stesso tipo. Rilancio chiedendovi se esiste una dimostrazione "semplice" del fatto che la cella esagonale degli alveari è quella  che minimizza il consumo di cera, a parità di volume.
Più che questione di minimo è questione di piena utilizzazione: si tratta di ripartire il piano in celle di pari dimensioni e non ci sono molte possibilità, le celle possono essere triangolari, quadrate o esagonali; il cerchio sarebbe la figura di miglior rapporto area/perimetro, di quelle tre forme la più "circolosa" è l'esagono.
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Felipeto



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Dom Ott 02, 2016 9:15 pm

Qui ci sono spunti interessanti
Se x è la coordinata del punto stazionario della funzione f (x), come cambia questo coordinata per la funzione f (x)*x?
È il problema dei diagrammi coppia potenza
https://www.google.it/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://web.tiscali.it/progettomotori/Manuali/meccanica.PDF&ved=0ahUKEwjXvMes6bzPAhXHdCwKHQwQAKAQFgheMBE&usg=AFQjCNGIWiL5DKHCjdBZwwQC2Oxvx3_8-Q&sig2=a8OoWFyIWt5VML3viQNIqg

Se vuoi dare un occhiata anche ai motori elettrici ad induzione. ...anche li cose carine da derivare
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Garamond



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Lun Ott 03, 2016 10:37 am

Quello del consumo mi piace molto, perché si riesce a fare senza tanti prerequisiti di fisica. Anche quello del proiettile sarebbe proponibile, ma la funzione è forse troppo elementare.

Sul tema lattina/piscina/casseruola proporrò senz'altro qualcosa; inizialmente la lattina l'avevo scartata perché quelle che si trovano in commercio hanno raramente la forma ottimale (immagino per questioni estetiche o di comodità), ma effettivamente ci sono molte varianti interessanti.

Grazie ancora per le idee.
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@melia



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Lun Ott 03, 2016 6:06 pm

Ogni tanto al supermercato trovo delle lattine, di solito di pelati o di fagioli, che hanno la forma della superficie minima. Sono scomode da tenere in mano, a meno di non essere Primo Carnera o Gianni Morandi.
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mac67



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Lun Ott 03, 2016 6:19 pm

Garamond ha scritto:

Sul tema lattina/piscina/casseruola proporrò senz'altro qualcosa; inizialmente la lattina l'avevo scartata perché quelle che si trovano in commercio hanno raramente la forma ottimale (immagino per questioni estetiche o di comodità), ma effettivamente ci sono molte varianti interessanti.

Le lattine in commercio hanno forma diversa da quella del problema classico per un motivo molto semplice: la materia prima non è l'unico costo. A parte la manodopera e gli impianti, la saldatura delle varie parti ha un costo anch'esso. Il problema vero della lattina ottimale è a più variabili.
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comp_xt



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MessaggioOggetto: Re: Problemi di massimo e di minimo   Lun Ott 03, 2016 9:05 pm

Propongo il "problema della scorte".
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