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 Grafico di disequazioni fratte

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Danilo83



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MessaggioTitolo: Grafico di disequazioni fratte   Mar Dic 06, 2016 10:06 am

Ciao, la settimana scorsa ho preso servizio in un professionale. Facendo un test per valutare i ragazzi, mi sono accorto che studiano le disequazioni fratte, inserendo nel grafico una linea continua per i valori positivi e tratteggiata per i valori negativi. Navigando in alcuni siti "specializzati", ho visto che è un modo abbastanza diffuso di rappresentare questo tipo di grafico. Per contro, in tutti i libri di testo che ho, si costruisce il grafico inserendo i "+" e i "-" negli intervalli. Io trovo che sia una maniera equivoca oltreché poco chiara, dal momento che la linea continua la si utilizza nei sistemi di disequazioni per rappresentare gli intervalli in cui la disequazione è soddisfatta. Che ne pensate?
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avidodinformazioni



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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Mar Dic 06, 2016 11:13 am

L'anno scorso ho ragionato come te, poi i ragazzi nel recupero si sono trovati lo schema con i + ed i - e hanno fatto ancora più confusione.

Forse bisogna accettare l'idea di mettere in cassa il primo risultato col metodo più intuitivo e per il secondo Dio provvederà.

Sicuro che al professionale riuscirai a fargli digerire i sistemi di disequazioni ? Auguri.
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Masaniello



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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Mar Dic 06, 2016 12:27 pm

l importante è ribadire ALLO SFINIMENTO la differenza tra sistema di disequazioni e disequazioni fratte..
il metodo piu valido è quello che piace di piu..linea continua o ++ -- direi che non sono essenziali..
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paniscus_2.0



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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Mar Dic 06, 2016 1:54 pm

Io ho visto gente di quarta liceo scientifico che ancora confonde la griglia dei segni con la griglia dei sistemi... e appunto, sono arrivati in quarta : - (
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mac67



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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Mar Dic 06, 2016 4:28 pm

paniscus_2.0 ha scritto:
Io ho visto gente di quarta liceo scientifico che ancora confonde la griglia dei segni con la griglia dei sistemi... e appunto, sono arrivati in quarta  : - (

Lo faranno anche in quinta, tranquilla.

Oltre a positivo e negativo, bisogna mettere anche lo 0. Non so perché, ma quasi nessuno dei miei colleghi lo fa.

Io preferisco le linee, + e - li leggo meno bene.
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comp_xt



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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Gio Dic 08, 2016 9:45 am

Danilo83 ha scritto:
Ciao, la settimana scorsa ho preso servizio in un professionale. Facendo un test per valutare i ragazzi, mi sono accorto che studiano le disequazioni fratte, inserendo nel grafico una linea continua per i valori positivi e tratteggiata per i valori negativi. Navigando in alcuni siti "specializzati", ho visto che è un modo abbastanza diffuso di rappresentare questo tipo di grafico. Per contro, in tutti i libri di testo che ho, si costruisce il grafico inserendo i "+" e i "-" negli intervalli. Io trovo che sia una maniera equivoca oltreché poco chiara, dal momento che la linea continua la si utilizza nei sistemi di disequazioni per rappresentare gli intervalli in cui la disequazione è soddisfatta. Che ne pensate?

Fermo restando che questo è uno degli argomenti di algebra in cui gli studenti fanno più confusione (e non solo al biennio), non c'è alcuna ambiguità nell'utilizzo del tipo di notazione che hai descritto.
Infatti chi la utilizza, davanti a una disequazione del tipo N(x)/D(x) >< 0, risolve separatamente le disequazioni seguenti:

N(x)>0

D(x) >0

e poi procede a studiare il segno del rapporto.

La linea continua pertanto sta a indicare gli intervalli in cui le disequazioni N(x)>0 e F(x)>0 sono soddisfatte, ossia gli intervalli in cui N(x) e D(x) sono positive.

Quale notazione è meglio utilizzare? Credo sia indifferente, visto che con entrambe le notazioni si riscontrano lo stesso tipo di equivoci da parte degli alunni.
Non illuderti che esistano formule magiche per far digerire l'argomento, è fondamentale che gli studenti comprendano quello che stanno facendo e non lo vedano come una procedura da mandare a memoria.
Tu fai di tutto per farglielo capire, con esempi e strategie che individuerai in base al tipo di classe che hai davanti. Tu farai così la tua parte, ma anche gli studenti debbono fare la loro approcciandosi in maniera corretta allo studio della matematica.

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paniscus_2.0



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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Gio Dic 08, 2016 10:37 am

comp_xt ha scritto:

Infatti chi la utilizza, davanti a una disequazione del tipo N(x)/D(x) >< 0, risolve separatamente le disequazioni seguenti:

N(x)>0

D(x) >0

e poi procede a studiare il segno del rapporto.

La linea continua pertanto sta a indicare gli intervalli in cui le  disequazioni N(x)>0 e F(x)>0 sono soddisfatte, ossia gli intervalli in cui N(x) e D(x) sono positive.


Già, peccato che questo risulta evidente solo quando si separano numeratore e denominatore, e basta. Quando i fattori sono più di due (e normalmente lo sono quasi sempre, a meno di non parlare di casi banalissimi), vanno in palla...

E comunque, scusa se faccio la cavillosa, ma io non vedo nessuna ragione di impostare una disequazione (moltiplicativa, o frazionaria, ma comunque una disequazione unica) come se fosse "il prodotto di due disequazioni diverse".

Non esiste il prodotto di due disequazioni, esiste il prodotto di due (o più) FATTORI, che mi pare molto più rigoroso.

Se al numeratore c'è un polinomio di terzo grado con tre soluzioni, e al numeratore uno di secondo grado con altre due, che senso ha determinare prima il segno del numeratore da solo, e poi quello del denominatore da solo, come se fossero due disequazioni diverse, e poi metterle insieme come se ci fosse da risolvere una terza disequazione?

Non è molto più logico scomporre tutto in fattori semplici, riscrivere l'intera frazione tutta fattorizzata, e poi metterli tutti e cinque sulla stessa griglia, in cui compaiono visualmente proprio i SEGNI dei singoli fattori, che appunto sono fattori e non disequazioni a loro volta? Poi si fa il prodotto cumulativo dei segni, per ciascuna colonna, e il segno finale compare intuitivamente da solo.

Tanto, per lo studio del segno... che un fattore stia al numeratore o al denominatore non cambia nulla, se non per il dettaglio importante di doversi ricordare che i valori di zero provenienti dal denominatore sono sempre da escludere, anche se la disequazione comprende anche l'uguaglianza.

Per me, la griglia dei segni vuol dire: "indicare se questo fattore è positivo o negativo", la griglia delle linee continue vuol dire "indicare se questa disuguaglianza è vera o falsa". I fattori non sono disuguaglianze, e quindi non possono essere "veri o falsi", sono semplicemente portatori di segni che devono essere poi combinati tra loro.

E quando si moltiplica, è indiscutibile che "meno per meno fa più", ma mica si può sostenere che "vuoto per vuoto fa pieno" o che "linea tratteggiata per linea tratteggiata fa linea continua"!

Quella è un'assurdità che non vuol dire niente, e che appunto manda i ragazzi in confusione, con il rischio che poi la usino disinvoltamente anche nelle griglie dei sistemi di disequazioni, in cui sarebbe un errore grave!
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avidodinformazioni



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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Gio Dic 08, 2016 12:18 pm

Tante variazioni su un unico tema: come dare 4 a metà classe ? Con il metodo delle linee, con quello dei +-, con i fattori, o con le eq. ?

La risposta è dentro di loro .... ed è sbagliata la metà delle volte.
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comp_xt



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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Gio Dic 08, 2016 12:24 pm

paniscus_2.0 ha scritto:


E comunque, scusa se faccio la cavillosa, ma io non vedo nessuna ragione di impostare una disequazione (moltiplicativa, o frazionaria, ma comunque una disequazione unica) come se fosse "il prodotto di due disequazioni diverse".


E dove avrei parlato di "prodotto di due disequazioni"?

se rileggi, ho parlato di disequazioni del tipo:

N(x)/D(x) >0

che può essere risolta studiando separatamente il segno del numeratore e del denominatore per poi utilizzare quanto ottenuto per determinare il segno della frazione.

Non ho mai parlato di "prodotto di disequazioni" - concetto ovviamente privo di senso.
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comp_xt



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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Gio Dic 08, 2016 12:34 pm

paniscus_2.0 ha scritto:


Non è molto più logico scomporre tutto in fattori semplici, riscrivere l'intera frazione tutta fattorizzata, e poi metterli tutti e cinque sulla stessa griglia, in cui compaiono visualmente proprio i SEGNI dei singoli fattori, che appunto sono fattori e non disequazioni a loro volta? Poi si fa il prodotto cumulativo dei segni, per ciascuna colonna, e il segno finale compare intuitivamente da solo.

Tanto, per lo studio del segno... che un fattore stia al numeratore o al denominatore non cambia nulla, se non per il dettaglio importante di doversi ricordare che i valori di zero provenienti dal denominatore sono sempre da escludere, anche se la disequazione comprende anche l'uguaglianza.

Per me, la griglia dei segni vuol dire: "indicare se questo fattore è positivo o negativo", la griglia delle linee continue vuol dire "indicare se questa disuguaglianza è vera o falsa". I fattori non sono disuguaglianze, e quindi non possono essere "veri o falsi", sono semplicemente portatori di segni che devono essere poi combinati tra loro.

E quando si moltiplica, è indiscutibile che "meno per meno fa più", ma mica si può sostenere che "vuoto per vuoto fa pieno" o che "linea tratteggiata per linea tratteggiata fa linea continua"!

Quella è un'assurdità che non vuol dire niente, e che appunto manda i ragazzi in confusione, con il rischio che poi la usino disinvoltamente anche nelle griglie dei sistemi di disequazioni, in cui sarebbe un errore grave!

Io credo che quello che conta sia la consapevolezza di quello che si fa.
Lo studio del segno di un trinomio di secondo grado, ad esempio, può essere fatto correttamente senza però che lo studente abbia capito quello che sta facendo, ricordando a memoria la "regola" sul dove mettere il "+" e sul dove mettere il "-".
Noi stiamo discutendo semplicemente sulla rappresentazione grafica della situazione, ma è ovvio che ciò che  matematicamente regola la questione, in qualunque modo lo si voglia guardare, non cambia.
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alege76



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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Gio Dic 08, 2016 1:04 pm

paniscus_2.0 ha scritto:
comp_xt ha scritto:

Infatti chi la utilizza, davanti a una disequazione del tipo N(x)/D(x) >< 0, risolve separatamente le disequazioni seguenti:

N(x)>0

D(x) >0

e poi procede a studiare il segno del rapporto.

La linea continua pertanto sta a indicare gli intervalli in cui le  disequazioni N(x)>0 e F(x)>0 sono soddisfatte, ossia gli intervalli in cui N(x) e D(x) sono positive.


Già, peccato che questo risulta evidente solo quando si separano numeratore e denominatore, e basta. Quando i fattori sono più di due (e normalmente lo sono quasi sempre, a meno di non parlare di casi banalissimi), vanno in palla...

E comunque, scusa se faccio la cavillosa, ma io non vedo nessuna ragione di impostare una disequazione (moltiplicativa, o frazionaria, ma comunque una disequazione unica) come se fosse "il prodotto di due disequazioni diverse".

Non esiste il prodotto di due disequazioni, esiste il prodotto di due (o più) FATTORI, che mi pare molto più rigoroso.

Se al numeratore c'è un polinomio di terzo grado con tre soluzioni, e al numeratore uno di secondo grado con altre due, che senso ha determinare prima il segno del numeratore da solo, e poi quello del denominatore da solo, come se fossero due disequazioni diverse, e poi metterle insieme come se ci fosse da risolvere una terza disequazione?

Non è molto più logico scomporre tutto in fattori semplici, riscrivere l'intera frazione tutta fattorizzata, e poi metterli tutti e cinque sulla stessa griglia, in cui compaiono visualmente proprio i SEGNI dei singoli fattori, che appunto sono fattori e non disequazioni a loro volta? Poi si fa il prodotto cumulativo dei segni, per ciascuna colonna, e il segno finale compare intuitivamente da solo.

Tanto, per lo studio del segno... che un fattore stia al numeratore o al denominatore non cambia nulla, se non per il dettaglio importante di doversi ricordare che i valori di zero provenienti dal denominatore sono sempre da escludere, anche se la disequazione comprende anche l'uguaglianza.

Per me, la griglia dei segni vuol dire: "indicare se questo fattore è positivo o negativo", la griglia delle linee continue vuol dire "indicare se questa disuguaglianza è vera o falsa". I fattori non sono disuguaglianze, e quindi non possono essere "veri o falsi", sono semplicemente portatori di segni che devono essere poi combinati tra loro.

E quando si moltiplica, è indiscutibile che "meno per meno fa più", ma mica si può sostenere che "vuoto per vuoto fa pieno" o che "linea tratteggiata per linea tratteggiata fa linea continua"!

Quella è un'assurdità che non vuol dire niente, e che appunto manda i ragazzi in confusione, con il rischio che poi la usino disinvoltamente anche nelle griglie dei sistemi di disequazioni, in cui sarebbe un errore grave!

Ho sempre fatto esattamente come dici, alle superiori come pure nei corsi di primo anno per ingegneri e chimici...ai matematici queste cose non le ho mai insegnate; al posto di "0" faccio scrivere "z" per "zero" perché lo confondono col pallino vuoto '-.- e nelle frazioni, nella riga del segno della frazione mettono "non esiste" dove qualche denominatore si annulla... Non ho ragioni per cambiare; comunque ho le stesse percentuali di studenti che non hanno compreso l'argomento di colleghi e colleghe.
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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Gio Dic 08, 2016 1:07 pm

comp_xt ha scritto:


E dove avrei parlato di "prodotto di due disequazioni"?

se rileggi, ho parlato di disequazioni del tipo:

N(x)/D(x) >0

che può essere risolta studiando separatamente il segno del numeratore e del denominatore per poi utilizzare quanto ottenuto per determinare il segno della frazione.

Ok, ma le mie obiezioni sono:

a) a che serve? Quale è il vantaggio di separare numeratore e denominatore, invece di trattare i fattori tutti insieme?

b) se anche si vuole separarli, perché mai sulla griglia finale devono starci le linee continue invece delle linee con i più e i meno, visto che alla fine si deve fare comunque un "prodotto di segni" e non una sovrapposizione di linee continue? Voglio dire, perché si deve mettere in testa al ragazzo che il simbolo "linea piena" e il simbolo "linea vuota" si moltiplichino tra di loro, e che "linea vuota per linea vuota fa linea piena", quando poi nelle griglie relative ai sistemi si userà ovviamente un citerio diverso, che gli aumenta la confusione? Per noi la differenza sarà pure ovvia, ma per lo studente no!
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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Gio Dic 08, 2016 1:14 pm

ma di cosa state parlando?
Un grafichino?
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comp_xt



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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Gio Dic 08, 2016 1:20 pm

paniscus_2.0 ha scritto:
comp_xt ha scritto:


E dove avrei parlato di "prodotto di due disequazioni"?

se rileggi, ho parlato di disequazioni del tipo:

N(x)/D(x) >0

che può essere risolta studiando separatamente il segno del numeratore e del denominatore per poi utilizzare quanto ottenuto per determinare il segno della frazione.

Ok, ma le mie obiezioni sono:

a) a che serve? Quale è il vantaggio di separare numeratore e denominatore, invece di trattare i fattori tutti insieme?

b) se anche si vuole separarli, perché mai sulla griglia finale devono starci le linee continue invece delle linee con i più e i meno, visto che alla fine si deve fare comunque un "prodotto di segni" e non una sovrapposizione di linee continue? Voglio dire, perché si deve mettere in testa al ragazzo che il simbolo "linea piena" e il simbolo "linea vuota" si moltiplichino tra di loro, e che "linea vuota per linea vuota fa linea piena", quando poi nelle griglie relative ai sistemi si userà ovviamente un citerio diverso, che gli aumenta la confusione? Per noi la differenza sarà pure ovvia, ma per lo studente no!

Io non ho sponsorizzato il metodo, ho semplicemente risposto a Danilo1983 spiegando che le linee continue corrispondono agli intervalli in cui i singoli fattori sono positivi per il semplice fatto che precedentemente sono state risolte le disequazioni N(x)>0 e D(x)>0.
Se uno studente ha ben chiaro quello che si sta facendo capisce benissimo che pertanto le linee continue corrispondono agli intervalli in cui i singoli fattori hanno segno positivo.
Se invece si limita a studiare a memoria la procedura, farà sicuramente confusione.
Ma quello stesso studente, utilizzando l'altra rappresentazione, metterà comunque segni "+" e "-" rispettando la "regola", senza avere minimamente idea di che cosa significhi studiare il segno di un fattore.
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paniscus_2.0



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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Gio Dic 08, 2016 1:49 pm

comp_xt ha scritto:

Io credo che quello che conta sia la consapevolezza di quello che si fa.
Lo studio del segno di un trinomio di secondo grado, ad esempio, può essere fatto correttamente senza però che lo studente abbia capito quello che sta facendo, ricordando a memoria la "regola" sul dove mettere il "+" e sul dove mettere il "-".
Noi stiamo discutendo semplicemente sulla rappresentazione grafica della situazione, ma è ovvio che ciò che  matematicamente regola la questione, in qualunque modo lo si voglia guardare, non cambia.

Scusa, ma lasciando perdere le frazioni e limitandoci a disequazioni polinomiali di grado superiore al secondo, tu come ti regoli?

Di fronte a una cosa come x^3 - 10 x^2 + 29x - 20 > 0 , che si trasforma in (x-1)(x-4)(x-5) > 0, cosa fai?

Gli fai scorporare solo la prima soluzione, quella più evidente, con il metodo di Ruffini, e poi fai lasciare il residuo sotto forma di parabola da risolvere direttamente con l'equazione di secondo grado, mettendo poi sulla griglia due sole righe, una relativa al fattore di primo grado e una a quello di secondo?

Non fai scrivere tutti e tre i fattori alla pari, come li ho scritti io, e metterli nella griglia tutti e tre uno sotto all'altro? Perché devono pensare che una delle tre soluzioni debba avere un'importanza diversa dalle altre due, solo perché è stata trovata per prima?

E se i fattori sono più di tre, a maggior ragione, come ti regoli?

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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Gio Dic 08, 2016 2:32 pm

ushikawa ha scritto:
ma di cosa state parlando?
Un grafichino?
il "castelletto"
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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Gio Dic 08, 2016 2:42 pm

paniscus_2.0 ha scritto:

Di fronte a una cosa come x^3 - 10 x^2 + 29x - 20 > 0  , che si trasforma in  (x-1)(x-4)(x-5) > 0, cosa fai?

Gli fai scorporare solo la prima soluzione, quella più evidente, con il metodo di Ruffini, e poi fai lasciare il residuo sotto forma di parabola da risolvere direttamente con l'equazione di secondo grado, mettendo poi sulla griglia due sole righe, una relativa al fattore di primo grado e una a quello di secondo?

Non fai scrivere tutti e tre i fattori alla pari, come li ho scritti io, e metterli nella griglia tutti e tre uno sotto all'altro? Perché devono pensare che una delle tre soluzioni debba avere un'importanza diversa dalle altre due, solo perché è stata trovata per prima?

E se i fattori sono più di tre, a maggior ragione, come ti regoli?

È indifferente.
L'importante è che si riesca a scomporre il polinomio nel prodotto di due o più fattori di cui si è in grado di studiare il segno.
Riferendomi al tuo esempio, o scrivono il polinomio come prodotto di tre fattori di primo grado oppure come prodotto di un polinomio di primo grado per uno di secondo grado.
Se gli studenti non riescono a capire che i due modi di procedere sono equivalenti, significa che non hanno capito bene l'argomento e quindi è un mio problema fare in modo se ne rendano conto.
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paniscus_2.0



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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Gio Dic 08, 2016 2:49 pm

Citazione :
il "castelletto"

Un'altra cosa che non sopporto è quando lo disegnano "a cassettiera", cioè con le barre verticali INCOMPLETE che arrivano solo all'altezza della riga interessata, e poi fanno una piega a gomito e procedono in orizzontale.

Ma che ci vuole a disegnare le barre verticali complete, dritte, indipendenti dallo studio della funzione, e legate solo al numerino evidenziato in cima, e poi intersecarle con ALTRE barre orizzontali che si alternano tra piene e tratteggiate?

Allora piagnucolano che "l'insegnante dell'anno scorso gliele faceva fare così".

Ma PERCHE' c'è ancora qualcuno che si ostina a insegnarle così, visto che quasi tutti i libri fanno diversamente?????
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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Gio Dic 08, 2016 3:01 pm

paniscus_2.0 ha scritto:
Citazione :
il "castelletto"

Un'altra cosa che non sopporto è quando lo disegnano "a cassettiera", cioè con le barre verticali INCOMPLETE che arrivano solo all'altezza della riga interessata, e poi fanno una piega a gomito e procedono in orizzontale.

Ma che ci vuole a disegnare le barre verticali complete, dritte, indipendenti dallo studio della funzione, e legate solo al numerino evidenziato in cima, e poi intersecarle con ALTRE barre orizzontali che si alternano tra piene e tratteggiate?

Allora piagnucolano che "l'insegnante dell'anno scorso gliele faceva fare così".

Ma PERCHE' c'è ancora qualcuno che si ostina a insegnarle così, visto che quasi tutti i libri fanno diversamente?????

Paniscus, non capisco perché stai facendo diventare una questione di vitale importanza un qualcosa che è solo una rappresentazione grafica.
A noi dovrebbe interessare che abbiano compreso quello che stanno facendo, quando questa comprensione c'è non fa alcuna differenza utilizzare una tipologia di grafico piuttosto che un'altra.
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paniscus_2.0



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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Gio Dic 08, 2016 3:11 pm

comp_xt ha scritto:
paniscus_2.0 ha scritto:

Di fronte a una cosa come x^3 - 10 x^2 + 29x - 20 > 0  , che si trasforma in  (x-1)(x-4)(x-5) > 0, cosa fai?

E se i fattori sono più di tre, a maggior ragione, come ti regoli?

È indifferente.
L'importante è che si riesca a scomporre il polinomio nel prodotto di due o più fattori di cui si è in grado di studiare il segno.
Riferendomi al tuo esempio, o scrivono il polinomio come prodotto di tre fattori di primo grado oppure come prodotto di un polinomio di primo grado per uno di secondo grado.
Se gli studenti non riescono a capire che i due modi di procedere sono equivalenti, significa che non hanno capito bene l'argomento e quindi è un mio problema fare in modo se ne rendano conto.

E appunto, secondo me, abituarli fin dall'inizio a fattorizzare TUTTO il fattorizzabile e a visualizzare tutti i fattori come intercambiabili e di pari importanza, influisce parecchio sul fatto che se ne rendano conto o no.

L'uso automatico della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, solo per essersi imparati a memoria la formula senza averci capito niente, a mio avviso è una iattura, per la comprensione dell'argomento. Cioè, non capiscono che trovare gli zeri della parabola equivale ANCHE a scomporla in due fattori moltiplicativi, si fissano solo sul concetto di "valori esterni" o "valori interni" all'intervallo, ma appunto, se la presunta "parabola" fa parte della scomposizione di un'espressione più complicata, vanno nei pazzi.

Per non parlare poi delle espressioni di secondo grado col delta negativo, che siccome sono "impossibili" come equazioni, allora nella loro testa devono per forza diventare "impossibili" anche come disequazioni, e quindi vengono semplicemente trascurate e non discusse, anche quando avrebbero l'effetto di far cambiare segno a tutto il cucuzzaro....

...oppure, peggio ancora, delle espressioni di secondo grado col delta nullo, di cui NON SI ACCORGONO che sono dei quadrati interi (e quindi sempre positivi tranne che nel punto di zero), e partoriscono delle amenità come questa:

- polinomiale di terzo grado x^3 - 9 x^2 + 24x - 16 da porre come > 0

- scomposta con Ruffini diventa (x - 1)(x^2 - 8x +16) > 0

- risolto il secondo termine con la formula automatica, viene fuori che l'altra soluzione è x = 4, ma non si accorgono che è doppia, e quindi concludono che (x^2 - 8x +16) è maggiore di 0 per x maggiore di 4,

- e mettono allegramente sulla griglia le condizioni x > 1 e x > 4

- nel migliore dei casi, ossia che almeno abbiano capito che è una griglia di segni, concludono che la disuguaglianza è verificata per valori esterni tra 1 e 4 (che è sbagliato); nel peggiore, fanno la griglia delle linee continue e concludono che la disuguaglianza è verificata dove sono continue tutte e due, ossia per x > 4 (che è ancora più sbagliato)

Altre amenità come "x^2 maggiore di 4" e quindi x "maggiore di +/- 2 " sono all'ordine del giorno...
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comp_xt



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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Gio Dic 08, 2016 3:33 pm

paniscus_2.0 ha scritto:
comp_xt ha scritto:
paniscus_2.0 ha scritto:

Di fronte a una cosa come x^3 - 10 x^2 + 29x - 20 > 0  , che si trasforma in  (x-1)(x-4)(x-5) > 0, cosa fai?

E se i fattori sono più di tre, a maggior ragione, come ti regoli?

È indifferente.
L'importante è che si riesca a scomporre il polinomio nel prodotto di due o più fattori di cui si è in grado di studiare il segno.
Riferendomi al tuo esempio, o scrivono il polinomio come prodotto di tre fattori di primo grado oppure come prodotto di un polinomio di primo grado per uno di secondo grado.
Se gli studenti non riescono a capire che i due modi di procedere sono equivalenti, significa che non hanno capito bene l'argomento e quindi è un mio problema fare in modo se ne rendano conto.

E appunto, secondo me, abituarli fin dall'inizio a fattorizzare TUTTO il fattorizzabile e a visualizzare tutti i fattori come intercambiabili e di pari importanza, influisce parecchio sul fatto che se ne rendano conto o no.

L'uso automatico della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, solo per essersi imparati a memoria la formula senza averci capito niente, a mio avviso è una iattura, per la comprensione dell'argomento. Cioè, non capiscono che trovare gli zeri della parabola equivale ANCHE a scomporla in due fattori moltiplicativi, si fissano solo sul concetto di "valori esterni" o "valori interni" all'intervallo, ma appunto, se la presunta "parabola" fa parte della scomposizione di un'espressione più complicata, vanno nei pazzi.

Per non parlare poi delle espressioni di secondo grado col delta negativo, che siccome sono "impossibili" come equazioni, allora nella loro testa devono per forza diventare "impossibili" anche come disequazioni, e quindi vengono semplicemente trascurate e non discusse, anche quando avrebbero l'effetto di far cambiare segno a tutto il cucuzzaro....

...oppure, peggio ancora, delle espressioni di secondo grado col delta nullo, di cui NON SI ACCORGONO che sono dei quadrati interi (e quindi sempre positivi tranne che nel punto di zero), e partoriscono delle amenità come questa:

- polinomiale di terzo grado   x^3 - 9 x^2 + 24x - 16 da porre come  >  0

- scomposta con Ruffini diventa (x - 1)(x^2 - 8x +16) >  0

- risolto il secondo termine con la formula automatica, viene fuori che l'altra soluzione è x = 4, ma non si accorgono che è doppia, e quindi concludono che  (x^2 - 8x +16) è maggiore di 0 per x maggiore di 4,

- e mettono allegramente sulla griglia le condizioni x > 1  e x > 4

- nel migliore dei casi, ossia che almeno abbiano capito che è una griglia di segni, concludono che la disuguaglianza è verificata per valori esterni tra 1 e 4 (che è sbagliato); nel peggiore, fanno la griglia delle linee continue e concludono che la disuguaglianza è verificata dove sono continue tutte e due, ossia  per x > 4 (che è ancora più sbagliato)

Altre amenità come "x^2  maggiore di 4" e quindi x "maggiore di +/- 2 " sono all'ordine del giorno...

Tutti gli errori che hai citato, che effettivamente sono quelli più frequenti in questo campo, rimandano alla mancata comprensione di alcuni importanti nodi concettuali e, più in generale, ad un approccio errato alla matematica.

Ma questi errori vengono fatti a prescindere dalla rappresentazione grafica utilizzata.




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ushikawa

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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Gio Dic 08, 2016 4:02 pm

x^3 - 9x^2 +24x -16 = x(x-3)(x-6)-16 = (x-4)^2 * (x-1)
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paniscus_2.0



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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Gio Dic 08, 2016 4:35 pm

ushikawa ha scritto:
x^3 - 9x^2 +24x -16 = x(x-3)(x-6)-16 = (x-4)^2 * (x-1)

3 per 6 fa 24 ?    : - )

Comunque, a parte le sviste di trascrizione, lo studiare tutta la polinomiale come prodotto di tre fattori indipendenti, di cui due identici e uno distinto, è proprio la cosa che raccomandavo io....


Ultima modifica di paniscus_2.0 il Gio Dic 08, 2016 4:43 pm, modificato 2 volte
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mac67



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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Gio Dic 08, 2016 4:36 pm

comp_xt ha scritto:

Tutti gli errori che hai citato, che effettivamente sono quelli più frequenti in questo campo, rimandano alla mancata comprensione di alcuni importanti nodi concettuali e, più in generale, ad un approccio errato alla matematica.

Ma questi errori vengono fatti a prescindere dalla rappresentazione grafica utilizzata.


Infatti. Alla fine la causa è sempre la stessa: invece di ragionare su quel che fanno, preferiscono imparare (male) delle regole da applicare mentre pensano ad altro.
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ushikawa

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MessaggioTitolo: Re: Grafico di disequazioni fratte   Gio Dic 08, 2016 8:21 pm

paniscus_2.0 ha scritto:
ushikawa ha scritto:
x^3 - 9x^2 +24x -16 = x(x-3)(x-6)-16 = (x-4)^2 * (x-1)

3 per 6 fa 24 ?    : - )

Comunque, a parte le sviste di trascrizione, lo studiare tutta la polinomiale come prodotto di tre fattori indipendenti, di cui due identici e uno distinto, è proprio la cosa che raccomandavo io....

sono discalculico! Era (x-4)!
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