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 Limite dei limiti...MATEMATICA

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AutoreMessaggio
Masaniello



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MessaggioTitolo: Limite dei limiti...MATEMATICA    Gio Apr 27, 2017 3:36 pm

A casa mia,due funzioni f x ,g x sono reciprocamente asintotiche se lim per x tende a infinito, (f x - g x) = 0.
Secondo la collega vale anche lim x tende infinito (f x / g x) = 1.
La cosa non mi torna,ma non insegno matematica. Chi è cosa garantisce che 5-5 = 0 allora 5/5=1 Valga anche per un limite?
La collega mi fa che la definizione di funzioni asintotiche nell intorno di xo, x0 appartiene a R, CIOÈ LIM X tende xo (f x /gx)=1 vale anche se x0 è infinito...
Chi mi conferma? ??
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@melia

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MessaggioTitolo: Re: Limite dei limiti...MATEMATICA    Gio Apr 27, 2017 4:16 pm

Ha ragione la collega, anche se il tuo ragionamento vale quando il limite per x->oo di g(x) è diverso da 0, infatti in tal caso
lim(x->+oo)(f(x)-g(x))/g(x) =0,
ma anche lim(x->+oo)(f(x)-g(x))/g(x) =lim(x->+oo)(f(x)/g(x))-1 =0 da cui
lim(x->+oo)(f(x)/g(x))=1

Se il limite per x->oo di g(x) è 0 la cosa non funziona, infatti posti g(x)=1/x^2 e f(x)=1/|x|
allora lim(x->+oo)(f(x)-g(x))=0,
ma lim(x->+oo)(f(x)/g(x))=lim(x->+oo) (1/|x|)/(1/x^2)=lim(x->+oo) x=+oo
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ushikawa

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MessaggioTitolo: Re: Limite dei limiti...MATEMATICA    Gio Apr 27, 2017 4:55 pm

oppure se fx e gx tendono a 0 per x tendente a infinito il loro rapporto è indeterminato (0/0)
vale anche se fx e gx tendono a infinito per x tendente a infinito (oo/oo)
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Masaniello



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MessaggioTitolo: Re: Limite dei limiti...MATEMATICA    Gio Apr 27, 2017 5:53 pm

Se ho 0/0 non posso usare de l hopital?
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avidodinformazioni



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MessaggioTitolo: Re: Limite dei limiti...MATEMATICA    Gio Apr 27, 2017 5:57 pm

Volando basso per dare ragione alla collega (femmina, ma sicuramente lesbica visto che ne capisce di matematica) propongo la seguente riflessione: le due funzioni prima di arrivare all'infinito vedono quasi realizzarsi la loro reciproca asintoticità; un po' prima di arrivare ad infinito sono quasi uguali, tanto che g-f è circa zero, ma se sono quasi uguali allora g/f è quasi 1.

Mi lascia un po' perplesso un unico caso particolare: se f è costantemente 0 allora g/f non si può calcolare, mentre g-f sì.

Fuori da questo caso mi pare che le due versioni coincidano.
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avidodinformazioni



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MessaggioTitolo: Re: Limite dei limiti...MATEMATICA    Gio Apr 27, 2017 6:04 pm

Poi il limite per x tendente ad x0 può essere trasformato in limite ad infinito attraverso un cambio di variabile, questo non modifica il valore di g-f ed il valore di g/f; il cambio di variabile può essere x=(1/t)+x0
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Masaniello



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MessaggioTitolo: Re: Limite dei limiti...MATEMATICA    Gio Apr 27, 2017 6:15 pm

Il problema è la derivata prima della concentrazione di un farmaco assunto per via orale e per via endovenosa. Esercizio trovato non so dove dalla collega per le 5e.
Le derivate sono due curve del tipo esponenziale a esponente negativo che alla aumentare di t tendono ad avvicinarsi.t tempo dopo assunzione farmaco.
Il limite f -g mi dà 0.
Il limite f/g NON mi dà uno.
F Funzione derivata assunzione orale.
F derivata assunzione endo.
Le funzioni sono note.
Infine chiede le funzioni concentrazione (t) ,basta integrare e calcolare la costante sulle condizioni iniziale
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@melia

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MessaggioTitolo: Re: Limite dei limiti...MATEMATICA    Gio Apr 27, 2017 6:19 pm

È il primo problema di maturità 2015 delle scuole italiane nelle Americhe.
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Massimo Borsero



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MessaggioTitolo: Re: Limite dei limiti...MATEMATICA    Gio Apr 27, 2017 6:32 pm

Per applicare de l'Hopital ci sono ovviamente delle ipotesi (es: derivabilità) che sono molto più forti di quelle richieste per una stima asintotica.

@melia ha già fornito un esempio di due funzioni non asintoticamente equivalenti ma il cui limite della differenza è 0, ma basta prendere qualunque potenza di monomio per x->0 (es: x e x^2), o il reciproco per x->+\infty.

Ovviamente nella definizione si chiede che g(x) sia diversa da zero almeno in un intervallo di x_0 (quindi no funzione nulla).
Questa difficoltà si può superare considerando il rapporto inverso, infatti la relazione di equivalenza asintotica è, appunto, una relazione di equivalenza e quindi simmetrica (se g \tilde f allora f \tilde g).

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Masaniello



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MessaggioTitolo: Re: Limite dei limiti...MATEMATICA    Gio Apr 27, 2017 8:40 pm

Domanda: se io mi limito a verificare che lim t tende infinito (fx -gx) =0, sono tranquillo che le due funzioni al crescere indefinito di t sono reciprocamente asintotiche?
Tornando al caso pratico,posso concludere che la variazione nel tempo della concentrazione del farmaco nel sangue,o nel corpo non ricordo, per t molto grande è la stessa sia se assunto per via orale che endovena? ?
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Massimo Borsero



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MessaggioTitolo: Re: Limite dei limiti...MATEMATICA    Gio Apr 27, 2017 9:05 pm

Masaniello ha scritto:
Domanda: se io mi limito a verificare che lim t tende infinito (fx -gx) =0, sono tranquillo che le due funzioni al crescere indefinito di t sono reciprocamente asintotiche?
Tornando al caso pratico,posso concludere che la variazione nel tempo della concentrazione del farmaco nel sangue,o nel corpo non ricordo, per t molto grande è la stessa sia se assunto per via orale che endovena? ?

No, come abbiamo detto. Considera

f(x) = 1/x
g(x) = 1/x^2

Il limite per x->+\infty di f(x) - g(x) è ovviamente 0. Ma certamente non puoi concludere che sono asintotiche, la seconda decresce ovviamente molto più rapidamente.
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Masaniello



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MessaggioTitolo: Re: Limite dei limiti...MATEMATICA    Gio Apr 27, 2017 9:11 pm

Hanno lo stesso asintoto orizzontale ma non sono tra loro asintotiche..
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