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 fisica e matematica

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tripod



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MessaggioOggetto: fisica e matematica   Dom Set 07, 2014 8:10 pm

Promemoria primo messaggio :

Egr. Sigg. Moderatori

dal momento che insegno da 10 anni
matematica e fisica posso affermare
che ogni anno ci sono da parte
degli studenti domande bizzarre
nonché strampalate sugli argomenti
del programma, in particolare in fisica.

Non avendo a disposizione il pc in classe
con un collegamento internet (ad eccezione
dell'uso che ogni docente ne fa per
il registro elettronico) a volte non
riesco a dare risposta.
Inoltre è risaputo (specialmente in Fisica)
la gran quantità di errori (e vere e
proprie bugie!) presenti nei libri di testo.

Potreste quindi consigliarmi dei siti
internet specializzati in questo tipo
di problematica?
Grazie
Alessio
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caminante



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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Lun Set 15, 2014 2:44 pm

Ciao,
condivido pienamente l'idea di Mariaang75 su battere su concetti fondamentali. Magari con una buona programmazione annuale si possono delineare alcuni campi di insegnamento, per circoscrivere il campo, in piena autonomia.

Non entro in merito dei dettagli sulla continuità perché non sono così ferrato. Però chiedo aiuto su una cosa: mi suona strano che si possa definire continua una funzione definita in un solo punto. Il concetto di intorno si salva cmq? E poi un punto si può intendere come intervallo? Chiuso o aperto? Dove sto sbagliando?

Passando a fisica io mi riferisco alle equazioni di Maxwell in forma differenziale, con le derivate parziali. Ci sono anche quelle in forma integrale, effettivamente. Cmq sono arrugginito in merito a equazioni integro-differenziali (ricordo qualcosa tipo equazione di Boltzmann e teorema H, cose legate all'entropia cmq...).
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mariaang75



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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Lun Set 15, 2014 3:23 pm

non è strano, la continuità è un concetto puntuale. Si definisce la continuità in un punto, poi si dice che la funzione è continua in un insieme, per esempio un intervallo, se lo è in tutti i punti. Quindi la funzione può benissimo essere definita in quel punto soltanto, e in tal caso è anche automaticamente continua. Se vogliamo il punto si può pensare come un intervallo chiuso di centro il punto e raggio zero.
Un pò diverso è il discorso per la derivata. ANche questa è un concetto puntuale. Però, affinché una funzione sia derivabile è necessario che sia definita in un intorno del punto, altrimenti non sarebbe definito il rapporto incrementale.
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caminante



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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Lun Set 15, 2014 7:09 pm

Grazie, ho capito. Resta solo l'utilità di una funzione con dominio un punto solo. Ma in teoria va bene.
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mac67



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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Lun Set 15, 2014 7:21 pm

mariaang75 ha scritto:
non è strano, la continuità è un concetto puntuale. Si definisce la continuità in un punto, poi si dice che la funzione è continua in un insieme, per esempio un intervallo,  se lo è in tutti i punti. Quindi la funzione può benissimo essere definita in quel punto soltanto, e in tal caso è anche automaticamente continua. Se vogliamo il punto si può pensare come un intervallo chiuso di centro il punto e raggio zero.
Un pò diverso è il discorso per la derivata. ANche questa è un concetto puntuale. Però, affinché una funzione sia derivabile è necessario che sia definita in un intorno del punto, altrimenti non sarebbe definito il rapporto incrementale.

Almeno a livello di liceo, la continuità non è un concetto puntuale perché definita mediante limite, come la derivata.

Se poi definisco la discontinuità come non continuità, senza fare riferimento a quale insieme appartiene il famoso x_0, ecco che y=1/x è discontinua, come parte della letteratura definisce. Poiché le definizioni sono arbitrarie, si può fare come si vuole, finché non si entra in contraddizione.
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paniscus_2.0



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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Lun Set 15, 2014 7:30 pm

caminante ha scritto:
Grazie, ho capito. Resta solo l'utilità di una funzione con dominio un punto solo. Ma in teoria va bene.

Perché, che cos'hai contro una funzione sul genere, che so, del tipo "radice quadrata di (-x^2 + 2x -1)" ?  

Sarà pure beatamente inutile, ma per essere simpatica, è simpatica!  : )

L.
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trumma



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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Lun Set 15, 2014 7:41 pm

tripod ha scritto:
Egr. Sigg. Moderatori

dal momento che insegno da 10 anni
matematica e fisica posso affermare
che ogni anno ci sono da parte
degli studenti domande bizzarre
nonché strampalate sugli argomenti
del programma, in particolare in fisica.

Non avendo a disposizione il pc in classe
con un collegamento internet (ad eccezione
dell'uso che ogni docente ne fa per
il registro elettronico) a volte non
riesco a dare risposta.
Inoltre è risaputo (specialmente in Fisica)
la gran quantità di errori (e vere e
proprie bugie!)  presenti nei libri di testo.

Potreste quindi consigliarmi dei siti
internet specializzati in questo tipo
di problematica?
Grazie
Alessio

ti suggerisco il sito matematicamente.it
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mariaang75



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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Mar Set 16, 2014 10:03 am

Caro mac67, anche definita con il limite la nozione di continuità è puntuale. Perché la funzione deve essere definita nel punto e il limite deve esistere ed essere uguale all'immagine della funzione nel punto.
Quindi anche in quel caso si definisce funzione continua in x_0. Poi la f è continua in un insieme E se lo è in tutti i punti di E. Continuità e derivabilità sono naturalmente anche concetti locali perché dipendono anche da quello che la funzione fa in un intorno del punto.
il limite da solo è un concetto locale che non dipende da quello che la funzione fa nel punto. Anche perché il concetto di limite ha senso anche in punti in cui la funzione non è definita, nei cosiddetti punti di accumulazione. A me pare che qualunque definizione si prenda, che poi sono tutte formulazioni equivalenti, y=1/x è continua. Del resto è anche derivabile, o no?
Se ci sono libri che sostengono la non continuità di 1/x andrebbero seriamente rivisti, se non buttati.
Con quale definizione di continuità sarebbe compatibile?
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mac67



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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Mar Set 16, 2014 12:33 pm

mariaang75 ha scritto:
Caro mac67, anche definita con il limite la nozione di continuità è puntuale. Perché la funzione deve essere definita nel punto e il limite deve esistere ed essere uguale all'immagine della funzione nel punto.
Quindi anche in quel caso si definisce funzione continua in x_0. Poi la f è continua in un insieme E se lo è in tutti i punti di E.  Continuità e derivabilità sono naturalmente anche concetti locali perché dipendono anche da quello che la funzione fa in un intorno del punto.
il limite da solo è un concetto locale che non dipende da quello che la funzione fa nel punto. Anche perché il concetto di limite ha senso anche in punti in cui la funzione non è definita, nei cosiddetti punti di accumulazione. A me pare che qualunque definizione si prenda, che poi sono tutte formulazioni equivalenti,  y=1/x è continua. Del resto è anche derivabile, o no?
Se ci sono libri che sostengono la non continuità di 1/x andrebbero seriamente rivisti, se non buttati.
Con quale definizione di continuità sarebbe compatibile?

Non concordiamo. Non ho nulla contro la tua definizione di discontinuità, ma non è l'unica possibile.

Il concetto di continuità e discontinuità ha origine dal grafico della funzione. E il grafico di y=1/x è discontinuo. E' ugualmente corretto (oltre che più coerente con la rappresentazione grafica della funzione), nella definizione di discontinuità, non richiedere che il punto x_0 appartenga al dominio.
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mariaang75



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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Mar Set 16, 2014 2:51 pm

Non è la mia definizione ma quella universalmente utilizzata per far funzionare i teoremi a l'analisi matematica. Il grafico non centra. Se non sappiamo disegnare il grafico di una funzione allora non possiamo decidere se sia continua o no? Allora una funzione definita su due intervalli chiusi e disgiunti sarebbe secondo questa interpretazione grafica automaticamente discontinua. E per queste funzioni non si potrebbe applicare ad esempio il teorema di Weierstrass o la permanenza del segno?
Pensa che so ad una funzione costante su due intervalli chiusi e disgiunti. Se applichiamo la definizione, ad esempio con il limite, la funzione risulta continua. Penso ci sia molta confusione in ciò che chiami continuo. Prendendo x_0 (converrai perlomeno di accumulazione) non nel dominio che fine fanno i teoremi che utilizzano la continuità? A me sembra un pasticcio. Forse l'unico modo per dare senso a quello che dici è parlare di una funzione che non è "prolungabile con continuità" invece che dirla discontinua. y=1/x non è prolungabile (nello zero) con continuità. Ad esempio y=sen x/x lo è.
non so se ho chiarito. Il problema e che non c'é una perfetta corrispondenza tra disegni e condizioni analitiche e i disegni in generale non sono sufficienti a dimostrare i teoremi.
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steimsav19



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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Mar Set 16, 2014 4:12 pm

Che nei libri di testo vi siano spesso errori e forzature è vero.
A me però sembra che alcuni interventi denotino una visione "talebana" della matematica e della fisica, visione che non tiene conto di quello che è stato lo sviluppo storico di queste due discipline.
Tanto per fare un esempio, quelle che solitamente vengono presentate come "trasformazioni di Galileo" costituiscono una formalizzazione matematica che ovviamente Galileo non utilizzava. Con i suoi concetti e le sue idee però Galileo ha fatto nascere la fisica a moderna e questo pur non utilizzando l'apparato matematico odierno.
Lo stesso dicasi per la matematica. Per anni è stata utilizzata la definizione intuitiva, ottenendo anche risultati considerevoli. La formalizzazione rigorosa è arrivata molto più tardi.
Che dire degli insiemi numerici? Forse non è possibile operare con essi se prima non si fanno studiare agli studenti gli assiomi di Peano, la definizione rigorosa di N e Q, le sezioni di Dedekind per costruire l'insieme R e così via?
Teniamo conto che la storia della matematica ha un andamento assai differente rispetto a quello che è l'ordine logico nella formalizzazione rigorosa di una teoria. E soprattutto ricordiamoci che in certi livelli di scuola è giusto mantenere un taglio intuitivo, che prediliga gli aspetti concettuali e logici rispetto all'apprendimento meccanico di procedure (su questo sono pienamente d'accordo).
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steimsav19



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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Mar Set 16, 2014 4:12 pm

Che nei libri di testo vi siano spesso errori e forzature è vero.
A me però sembra che alcuni interventi denotino una visione "talebana" della matematica e della fisica, visione che non tiene conto di quello che è stato lo sviluppo storico di queste due discipline e, soprattutto, del contesto nel quale si opera.
Tanto per fare un esempio, quelle che solitamente vengono presentate come "trasformazioni di Galileo" costituiscono una formalizzazione matematica che ovviamente Galileo non utilizzava. Con i suoi concetti e le sue idee però Galileo ha fatto nascere la fisica a moderna e questo pur non utilizzando l'apparato matematico odierno.
Che dire dei principi della dinamica? Per comprenderli in quelli che sono i loro aspetti concettuali è forse necessario conoscere le equazioni differenziali? Suvvia!
Lo stesso dicasi per il concetto di limite in matematica. Per anni è stata utilizzata la definizione intuitiva, ottenendo anche risultati considerevoli. La formalizzazione rigorosa è arrivata molto più tardi.
Che dire degli insiemi numerici? Forse non è possibile operare con essi se prima non si fanno studiare agli studenti gli assiomi di Peano, la definizione rigorosa di N e Q, le sezioni di Dedekind per costruire l'insieme R e così via?
Teniamo conto che la storia della matematica ha un andamento assai differente rispetto a quello che è l'ordine logico nella formalizzazione rigorosa di una teoria. E soprattutto ricordiamoci che in certi livelli di scuola è giusto mantenere un taglio intuitivo, che prediliga gli aspetti concettuali e logici rispetto all'apprendimento meccanico di procedure (su questo sono pienamente d'accordo).


Ultima modifica di sim1979 il Mer Set 17, 2014 5:39 pm, modificato 1 volta
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mac67



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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Mar Set 16, 2014 4:33 pm

mariaang75 ha scritto:
Non è la mia definizione ma quella universalmente utilizzata per far funzionare i teoremi a l'analisi matematica. Il grafico non centra. Se non sappiamo disegnare il grafico di una funzione allora non possiamo decidere se sia continua o no? Allora una funzione definita su due intervalli chiusi e disgiunti sarebbe secondo questa interpretazione grafica automaticamente discontinua. E per queste funzioni non si potrebbe applicare ad esempio il teorema di Weierstrass o la permanenza del segno?
Pensa che so ad una funzione costante su due intervalli chiusi e disgiunti. Se applichiamo la definizione, ad esempio con il limite, la funzione risulta continua. Penso ci sia molta confusione in ciò che chiami continuo. Prendendo x_0 (converrai perlomeno di accumulazione) non nel dominio che fine fanno i teoremi che utilizzano la continuità? A me sembra un pasticcio.  Forse l'unico modo per dare senso a quello che dici è parlare di una funzione che non è "prolungabile con continuità" invece che dirla discontinua. y=1/x non è prolungabile (nello zero) con continuità. Ad esempio y=sen x/x lo è.
non so se ho chiarito. Il problema e che non c'é una perfetta corrispondenza tra disegni e condizioni analitiche e i disegni in generale non sono sufficienti a dimostrare i teoremi.  

Ho capito la tua posizione: ripeto, non ho nulla contro la tua definizione.

Tuttavia in letteratura c'è chi definisce punto di discontinuità anche punti di accumulazione esclusi dal dominio della funzione. E che il concetto di continuità nasca dal grafico mi pare difficilmente contestabile.

I teoremi funzionano anche con definizioni diverse: non sono le definizioni a determinare l'essenza delle proprietà, ma il modo in cui le diciamo.
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steimsav19



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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Mar Set 16, 2014 5:07 pm

mac67 ha scritto:
mariaang75 ha scritto:
Non è la mia definizione ma quella universalmente utilizzata per far funzionare i teoremi a l'analisi matematica. Il grafico non centra. Se non sappiamo disegnare il grafico di una funzione allora non possiamo decidere se sia continua o no? Allora una funzione definita su due intervalli chiusi e disgiunti sarebbe secondo questa interpretazione grafica automaticamente discontinua. E per queste funzioni non si potrebbe applicare ad esempio il teorema di Weierstrass o la permanenza del segno?
Pensa che so ad una funzione costante su due intervalli chiusi e disgiunti. Se applichiamo la definizione, ad esempio con il limite, la funzione risulta continua. Penso ci sia molta confusione in ciò che chiami continuo. Prendendo x_0 (converrai perlomeno di accumulazione) non nel dominio che fine fanno i teoremi che utilizzano la continuità? A me sembra un pasticcio.  Forse l'unico modo per dare senso a quello che dici è parlare di una funzione che non è "prolungabile con continuità" invece che dirla discontinua. y=1/x non è prolungabile (nello zero) con continuità. Ad esempio y=sen x/x lo è.
non so se ho chiarito. Il problema e che non c'é una perfetta corrispondenza tra disegni e condizioni analitiche e i disegni in generale non sono sufficienti a dimostrare i teoremi.  

Ho capito la tua posizione: ripeto, non ho nulla contro la tua definizione.

Tuttavia in letteratura c'è chi definisce punto di discontinuità anche punti di accumulazione esclusi dal dominio della funzione. E che il concetto di continuità nasca dal grafico mi pare difficilmente contestabile.

I teoremi funzionano anche con definizioni diverse: non sono le definizioni a determinare l'essenza delle proprietà, ma il modo in cui le diciamo.

Confermo.
Anche il Pagani-Salsa Analisi Matematica 1 segue questa impostazione.

Per mac67: non capisco perché affermi che con questa definizione una funzione definita su due intervalli chiusi e disgiunti sarebbe automaticamente discontinua.
Prendiamo ad esempio:

            x se x appartiene a [-1,0]
f(x)=
            x^2 se x appartiene a [2,4]

Questa funzione è continua anche nella definizione "stile Pagani-Salsa".
Infatti non avrebbe comunque senso parlare di discontinuità per valori appartenenti all'intervallo (0,2) in quanto tali valori NON sono punti di accumulazione per il dominio della f(x).
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mac67



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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Mar Set 16, 2014 5:57 pm

sim1979 ha scritto:

Confermo.
Anche il Pagani-Salsa Analisi Matematica 1 segue questa impostazione.

Per mac67: non capisco perché affermi che con questa definizione una funzione definita su due intervalli chiusi e disgiunti sarebbe automaticamente discontinua.
Prendiamo ad esempio:

            x se x appartiene a [-1,0]
f(x)=
            x^2 se x appartiene a [2,4]

Questa funzione è continua anche nella definizione "stile Pagani-Salsa".
Infatti non avrebbe comunque senso parlare di discontinuità per valori appartenenti all'intervallo (0,2) in quanto tali valori NON sono punti di accumulazione per il dominio della f(x).

Non ho affermato questo, ma la brevità della frase può creare l'equivoco. Mi riferitv a casi come y=1/x. La funzione che dai tu ha dominio interrotto da un intervallo, non solo da un punto (quella che avevo in mente io). E comunque, nessun "automaticamente": può, non deve.
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steimsav19



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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Mar Set 16, 2014 6:38 pm

mac67 ha scritto:
sim1979 ha scritto:

Confermo.
Anche il Pagani-Salsa Analisi Matematica 1 segue questa impostazione.

Per mac67: non capisco perché affermi che con questa definizione una funzione definita su due intervalli chiusi e disgiunti sarebbe automaticamente discontinua.
Prendiamo ad esempio:

            x se x appartiene a [-1,0]
f(x)=
            x^2 se x appartiene a [2,4]

Questa funzione è continua anche nella definizione "stile Pagani-Salsa".
Infatti non avrebbe comunque senso parlare di discontinuità per valori appartenenti all'intervallo (0,2) in quanto tali valori NON sono punti di accumulazione per il dominio della f(x).

Non ho affermato questo, ma la brevità della frase può creare l'equivoco. Mi riferitv a casi come y=1/x. La funzione che dai tu ha dominio interrotto da un intervallo, non solo da un punto (quella che avevo in mente io). E comunque, nessun "automaticamente": può, non deve.

Prendo atto della tua precisazione.
Tu però hai anche scritto che con la definizione stile "Pagani-Salsa" non si potrebbe applicare il teorema di Weirstrass. Cosa c'è di strano in questo? Supponiamo ad esempio che la funzione y=1/x sia definita nell'insieme [1,0)U(0,1].
Tale funzione ovviamente non ammette massimo e minimo e assoluto, ma ciò non contraddice affatto il teorema di Weierstrass per il semplice fatto che esso si applica alle funzioni definite in insiemi chiuso e limitato, proprietà di cui non gode l'insieme  [1,0)U(0,1].
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mac67



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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Mar Set 16, 2014 7:10 pm

sim1979 ha scritto:

Prendo atto della tua precisazione.
Tu però hai anche scritto che con la definizione stile "Pagani-Salsa" non si potrebbe applicare il teorema di Weirstrass. Cosa c'è di strano in questo? Supponiamo ad esempio che la funzione y=1/x sia definita nell'insieme [1,0)U(0,1].
Tale funzione ovviamente non ammette massimo e minimo e assoluto, ma ciò non contraddice affatto il teorema di Weierstrass per il semplice fatto che esso si applica alle funzioni definite in insiemi chiuso e limitato, proprietà di cui non gode l'insieme  [1,0)U(0,1].

Dove? Non ricordo di averlo visto scritto da nessuno.
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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Mar Set 16, 2014 7:32 pm

mac67 ha scritto:
sim1979 ha scritto:

Prendo atto della tua precisazione.
Tu però hai anche scritto che con la definizione stile "Pagani-Salsa" non si potrebbe applicare il teorema di Weirstrass. Cosa c'è di strano in questo? Supponiamo ad esempio che la funzione y=1/x sia definita nell'insieme [1,0)U(0,1].
Tale funzione ovviamente non ammette massimo e minimo e assoluto, ma ciò non contraddice affatto il teorema di Weierstrass per il semplice fatto che esso si applica alle funzioni definite in insiemi chiuso e limitato, proprietà di cui non gode l'insieme  [1,0)U(0,1].

Dove? Non ricordo di averlo visto scritto da nessuno.

Chiedo scusa, ho fatto confusione scorrendo la discussione e quindi ho erroneamente attribuito a te un'asserzione di mariaang75 (il quale però la utilizzava correttamente a sostegno della tesi che il concetto di discontinuità possa poter riguardare anche punti di accumulazione non appartenenti al dominio).
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mac67



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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Mar Set 16, 2014 7:45 pm

mariaang75 ha scritto:
non è strano, la continuità è un concetto puntuale. Si definisce la continuità in un punto, poi si dice che la funzione è continua in un insieme, per esempio un intervallo,  se lo è in tutti i punti. Quindi la funzione può benissimo essere definita in quel punto soltanto, e in tal caso è anche automaticamente continua. Se vogliamo il punto si può pensare come un intervallo chiuso di centro il punto e raggio zero.
Un pò diverso è il discorso per la derivata. ANche questa è un concetto puntuale. Però, affinché una funzione sia derivabile è necessario che sia definita in un intorno del punto, altrimenti non sarebbe definito il rapporto incrementale.

Vorrei tornare su quest'altro punto: un funzione definita in un solo punto per te è continua?
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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Mar Set 16, 2014 8:46 pm

mac67 ha scritto:
mariaang75 ha scritto:
non è strano, la continuità è un concetto puntuale. Si definisce la continuità in un punto, poi si dice che la funzione è continua in un insieme, per esempio un intervallo,  se lo è in tutti i punti. Quindi la funzione può benissimo essere definita in quel punto soltanto, e in tal caso è anche automaticamente continua. Se vogliamo il punto si può pensare come un intervallo chiuso di centro il punto e raggio zero.
Un pò diverso è il discorso per la derivata. ANche questa è un concetto puntuale. Però, affinché una funzione sia derivabile è necessario che sia definita in un intorno del punto, altrimenti non sarebbe definito il rapporto incrementale.

Vorrei tornare su quest'altro punto: un funzione definita in un solo punto per te è continua?

Si, perché è un punto isolato del dominio.

Se hai l'opportunità, consulta il Pagani Salsa.

Se xo è un punto isolato del dominio della funzione, allora essa è continua.

Se xo è un punto di accumulazione per il dominio della funzione  la funzione è continua se lim x-->xo f(x)=f(xo)
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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Mar Set 16, 2014 8:50 pm

eddaje, su... si può benissimo togliersi dall'imbarazzo dicendo che una funzione definita in un solo punto non è né continua né discontinua, ma è una funzione la cui continuità non può essere definita, perché mancano i presupposti per definirla.

Il concetto di continuità in un punto, enunciato proprio in linguaggio grossolanissimo, prevede che il limite da destra, il limite da sinistra, e il valore effettivo della funzione in quel punto, esistano tutti e tre, che siano finiti e che siano tutti e tre uguali.

Oppure si può formulare la definizione con una premessa in più, e cioè che il punto sia di accumulazione, che il limite da destra, il limite da sinistra, e il valore effettivo della funzione in quel punto, esistano tutti e tre, siano finiti e siano tutti e tre uguali.

In quest'ultimo caso, la domanda "è continua o no?" è logicamente ammissibile, e la risposta è sicuramente no, non è continua, perché il punto NON E' di accumulazione, bensì è un punto isolato (quindi la prima condizione non è vera) ed è sicuro che quei limiti non esistano (quindi non è vera nemmeno la seconda).

Nel caso precedente, invece a mio avviso non è corretto "chiedersi se è continua o no e poi rispondere di no", perché è proprio la domanda che non è formulabile, cioè non possiamo proprio chiederci se il limite esista o meno... non è che ce lo chiediamo e concludiamo che non esiste, è prorpio che non possiamo manco chiedercelo!

Non so, mi sono spiegata o è troppo contorto? : )

L.
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mac67



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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Mar Set 16, 2014 9:07 pm

sim1979 ha scritto:
mac67 ha scritto:
mariaang75 ha scritto:
non è strano, la continuità è un concetto puntuale. Si definisce la continuità in un punto, poi si dice che la funzione è continua in un insieme, per esempio un intervallo,  se lo è in tutti i punti. Quindi la funzione può benissimo essere definita in quel punto soltanto, e in tal caso è anche automaticamente continua. Se vogliamo il punto si può pensare come un intervallo chiuso di centro il punto e raggio zero.
Un pò diverso è il discorso per la derivata. ANche questa è un concetto puntuale. Però, affinché una funzione sia derivabile è necessario che sia definita in un intorno del punto, altrimenti non sarebbe definito il rapporto incrementale.

Vorrei tornare su quest'altro punto: un funzione definita in un solo punto per te è continua?

Si, perché è un punto isolato del dominio.

Se hai l'opportunità, consulta il Pagani Salsa.

Se xo è un punto isolato del dominio della funzione, allora essa è continua.

Se xo è un punto di accumulazione per il dominio della funzione  la funzione è continua se lim x-->xo f(x)=f(xo)

Per te il solo punto x_0 è un intorno di x_0?
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steimsav19



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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Mar Set 16, 2014 9:20 pm

mac67 ha scritto:
sim1979 ha scritto:
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mariaang75 ha scritto:
non è strano, la continuità è un concetto puntuale. Si definisce la continuità in un punto, poi si dice che la funzione è continua in un insieme, per esempio un intervallo,  se lo è in tutti i punti. Quindi la funzione può benissimo essere definita in quel punto soltanto, e in tal caso è anche automaticamente continua. Se vogliamo il punto si può pensare come un intervallo chiuso di centro il punto e raggio zero.
Un pò diverso è il discorso per la derivata. ANche questa è un concetto puntuale. Però, affinché una funzione sia derivabile è necessario che sia definita in un intorno del punto, altrimenti non sarebbe definito il rapporto incrementale.

Vorrei tornare su quest'altro punto: un funzione definita in un solo punto per te è continua?

Si, perché è un punto isolato del dominio.

Se hai l'opportunità, consulta il Pagani Salsa.

Se xo è un punto isolato del dominio della funzione, allora essa è continua.

Se xo è un punto di accumulazione per il dominio della funzione  la funzione è continua se lim x-->xo f(x)=f(xo)

Per te il solo punto x_0 è un intorno di x_0?
No, ma la questione è irrilevante.
Se xo è un punto isolato per il dominio della funzione, la si definisce continua in quel punto e questa definizione non richiede di scomodare la nozione di limite (che per i punti isolati non avrebbe nemmeno senso).
Se xo è un punto di accumulazione per il dominio, a quel punto si utilizza la nozione di limite.
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mac67



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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Mar Set 16, 2014 10:09 pm

sim1979 ha scritto:
mac67 ha scritto:
sim1979 ha scritto:
mac67 ha scritto:
mariaang75 ha scritto:
non è strano, la continuità è un concetto puntuale. Si definisce la continuità in un punto, poi si dice che la funzione è continua in un insieme, per esempio un intervallo,  se lo è in tutti i punti. Quindi la funzione può benissimo essere definita in quel punto soltanto, e in tal caso è anche automaticamente continua. Se vogliamo il punto si può pensare come un intervallo chiuso di centro il punto e raggio zero.
Un pò diverso è il discorso per la derivata. ANche questa è un concetto puntuale. Però, affinché una funzione sia derivabile è necessario che sia definita in un intorno del punto, altrimenti non sarebbe definito il rapporto incrementale.

Vorrei tornare su quest'altro punto: un funzione definita in un solo punto per te è continua?

Si, perché è un punto isolato del dominio.

Se hai l'opportunità, consulta il Pagani Salsa.

Se xo è un punto isolato del dominio della funzione, allora essa è continua.

Se xo è un punto di accumulazione per il dominio della funzione  la funzione è continua se lim x-->xo f(x)=f(xo)

Per te il solo punto x_0 è un intorno di x_0?
No, ma la questione è irrilevante.
Se xo è un punto isolato per il dominio della funzione, la si definisce continua in quel punto e questa definizione non richiede di scomodare la nozione di limite (che per i punti isolati non avrebbe nemmeno senso).
Se xo è un punto di accumulazione per il dominio, a quel punto si utilizza la nozione di limite.

La tua definizione di funzione continua in un punto isolato non mi pare molto diffusa in letteratura.
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steimsav19



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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Mar Set 16, 2014 10:41 pm

mac67 ha scritto:


La tua definizione di funzione continua in un punto isolato non mi pare molto diffusa in letteratura.

Non direi.
Oltre a visionare il già citato Pagani-Salsa, prova a digitare su google la chiave di ricerca "continuità punto isolato" e guarda quante dispense di livello universitario trovi con questa definizione.

Segnalo anche questa discussione e, in particolare, l'interessante risposta del prof. Fioravante Patrone, docente ordinario presso l'Università di Genova:

http://www.matematicamente.it/forum/continuita-in-un-punto-t11598.html
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caminante



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MessaggioOggetto: Re: fisica e matematica   Mer Set 17, 2014 1:26 pm

Ciao, alla luce della continuità per un punto isolato allora l'approccio intuitivo - non staccare la mano dal foglio nel fare il grafico - alla continuità appare incompleto (ovviamente io faccio anche il formalismo con i limiti secondo la definizione usata da paniscus con le tre condizioni del limite destro-sinistro e del valore della funzione nel punto).

Resta un metodo efficace per licei di scienze umane a mio parere, soprattutto negli esercizi strabelli di funzioni definite a tratti e loro applicazioni fisiche.

Secondo me è importante dire che tale approccio è incompleto, ma non smettere di usarlo.

Ah, news: ho iniziato stamani una supplenza molto breve!
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